Giải tích sơ cấp Ví dụ

$4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 \leq 0$

Bước 1

Thay $u = x^{2}$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

Bước 2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot 36 = 144$ và có tổng là $b = - 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $- 25$ ra ngoài $- 25 u$ .

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

Bước 2.1.2

Viết lại $- 25$ ở dạng $- 9$ cộng $- 16$

$4 u^{2} + (- 9 - 16) u + 36 = 0$

Bước 2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 u^{2} - 9 u - 16 u + 36 = 0$

Bước 2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(4 u^{2} - 9 u) - 16 u + 36 = 0$

Bước 2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$u (4 u - 9) - 4 (4 u - 9) = 0$

Bước 2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u - 4) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$4 u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

Bước 4

Đặt $4 u - 9$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $4 u - 9$ bằng với $0$ .

$4 u - 9 = 0$

Bước 4.2

Giải $4 u - 9 = 0$ để tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 u = 9$

Bước 4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 u = 9$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 u = 9$ cho $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Bước 4.2.2.2.1.2

Chia $u$ cho $1$ .

$u = \frac{9}{4}$

Bước 5

Đặt $u - 4$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $u - 4$ bằng với $0$ .

$u - 4 = 0$

Bước 5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 4$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(4 u - 9) (u - 4) = 0$ đúng.

$u = \frac{9}{4}, 4$

Bước 7

Thay giá trị thực tế của $u = x^{2}$ trở lại vào phương trình đã giải.

$x^{2} = \frac{9}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Bước 8

Giải phương trình đầu tiên để tìm $x$ .

$x^{2} = \frac{9}{4}$

Bước 9

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

Bước 9.2

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{9}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Viết lại $\sqrt{\frac{9}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Bước 9.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Bước 9.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{4}}$

Bước 9.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 9.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{3}{2}$

Bước 9.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{3}{2}$

Bước 9.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{3}{2}$

Bước 9.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}$

Bước 10

Giải phương trình thứ hai để tìm $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Bước 11

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} = 4$

Bước 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 11.3

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 11.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 11.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 11.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 11.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 12

Đáp án cho $4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 = 0$ là $x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$

Bước 13

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 2$

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < 2$

$x > 2$

Bước 14

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 14.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$4 {(- 4)}^{4} - 25 {(- 4)}^{2} + 36 \leq 0$

Bước 14.1.3

Vế trái $660$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 14.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 1.75$

Bước 14.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 1.75$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$4 {(- 1.75)}^{4} - 25 {(- 1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Bước 14.2.3

Vế trái $- 3.046875$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 14.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 14.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$4 {(0)}^{4} - 25 {(0)}^{2} + 36 \leq 0$

Bước 14.3.3

Vế trái $36$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 14.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{3}{2} < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{3}{2} < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.75$

Bước 14.4.2

Thay thế $x$ bằng $1.75$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$4 {(1.75)}^{4} - 25 {(1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Bước 14.4.3

Vế trái $- 3.046875$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 14.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 14.5.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$4 {(4)}^{4} - 25 {(4)}^{2} + 36 \leq 0$

Bước 14.5.3

Vế trái $660$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 14.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 2$ Sai

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Đúng

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Sai

$\frac{3}{2} < x < 2$ Đúng

$x > 2$ Sai

$x < - 2$ Sai

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Đúng

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Sai

$\frac{3}{2} < x < 2$ Đúng

$x > 2$ Sai

Bước 15

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 2 \leq x \leq - \frac{3}{2}$ hoặc $\frac{3}{2} \leq x \leq 2$

Bước 16

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$[- 2, - \frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}, 2]$

Bước 17