Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x = \sqrt{y} + \sqrt[4]{y}$

Bước 1

Viết lại vế phải với các số mũ hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{y}$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{4}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}})$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.9

Kết hợp $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $y'$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.2.10

Di chuyển $y^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 4.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y'$

Bước 4.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y'$

Bước 4.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y'$

Bước 4.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y'$

Bước 4.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y'$

Bước 4.3.6.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y'$

Bước 4.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y'$

Bước 4.3.8

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $y^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y'$

Bước 4.3.9

Kết hợp $\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ và $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

Bước 4.3.10

Di chuyển $y^{- \frac{3}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$

Bước 6.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$

Bước 6.2.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{4}}$ .

Bước 6.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 6.2.4

Vì $2$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $2$ .

$2$ là một số nguyên tố

Bước 6.2.5

$4$ có các thừa số là $2$ và $2$ .

$2 \cdot 2$

Bước 6.2.6

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 6.2.7

BCNN của $2, 4, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$2 \cdot 2$

Bước 6.2.8

Nhân $2$ với $2$ .

$4$

Bước 6.2.9

BCNN của $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{4}}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$y^{\frac{3}{4}}$

Bước 6.2.10

BCNN cho $2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$ là phần số $4$ nhân với phần biến.

$4 y^{\frac{3}{4}}$

Bước 6.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ với $4 y^{\frac{3}{4}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ với $4 y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \cdot 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.3

Kết hợp $2$ và $\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.4.1

Đưa $y^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + 4 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + 4 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $y^{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2.1.7.2

Viết lại biểu thức.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + y' = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Nhân $4 y^{\frac{3}{4}}$ với $1$ .

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Bước 6.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y' y^{\frac{1}{4}} + y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y' y^{\frac{1}{4}}$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Bước 6.4.1.2

Nâng $y'$ lên lũy thừa $1$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Bước 6.4.1.3

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' \cdot 1 = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Bước 6.4.1.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Bước 6.4.2

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$ cho $2 y^{\frac{1}{4}} + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$ cho $2 y^{\frac{1}{4}} + 1$ .

$\frac{y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1)}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Bước 6.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1)}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Bước 6.4.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$