Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2} + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 1

Viết lại ${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$ ở dạng $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ .

$(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 2

Khai triển $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân $\sin (θ) \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 3.1.1.2

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 3.1.2

Nhân $\cos (θ) \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 3.1.2.2

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 3.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1} + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 3.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 3.3

Cộng $\cos (θ) \sin (θ)$ và $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 4

Di chuyển $\cos^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$1 + 2 \cos (θ) \sin (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại $2 \cos (θ)$ và $\sin (θ)$ .

$1 + \sin (θ) (2 \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 6.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$1 + \sin (θ) \cdot 2 \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại $\sin (θ)$ và $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 6.4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$1 + \sin (2 θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Bước 7

Viết lại ${(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$ ở dạng $(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ .

$1 + \sin (2 θ) + (\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$

Bước 8

Khai triển $(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + \sin (2 θ) + \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) - \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + \sin (2 θ) + \sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))$

Bước 8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + \sin (2 θ) + \sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Bước 9

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $\sin (θ) \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Bước 9.1.1.2

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Bước 9.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \sin (2 θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Bước 9.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Bước 9.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Bước 9.1.3

Nhân $- \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + 1 \cos (θ) \cos (θ)$

Bước 9.1.3.2

Nhân $\cos (θ)$ với $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Bước 9.1.3.3

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ)$

Bước 9.1.3.4

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)$

Bước 9.1.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1}$

Bước 9.1.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Bước 9.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Bước 9.3

Trừ $\cos (θ) \sin (θ)$ khỏi $- \cos (θ) \sin (θ)$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Bước 10

Di chuyển $\cos^{2} (θ)$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Bước 11

Áp dụng đẳng thức pytago.

$1 + \sin (2 θ) + 1 - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Bước 12

Cộng $1$ và $1$ .

$2 + \sin (2 θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$