Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$

Bước 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 7$

Bước 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm \frac{1}{7}, \pm 7$

Bước 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

$7 {(- 7)}^{3} + 53 {(- 7)}^{2} + 29 (- 7) + 7$

Bước 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = - 7$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $3$ .

$7 \cdot - 343 + 53 {(- 7)}^{2} + 29 (- 7) + 7$

Bước 4.1.2

Nhân $7$ với $- 343$ .

$- 2401 + 53 {(- 7)}^{2} + 29 (- 7) + 7$

Bước 4.1.3

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$- 2401 + 53 \cdot 49 + 29 (- 7) + 7$

Bước 4.1.4

Nhân $53$ với $49$ .

$- 2401 + 2597 + 29 (- 7) + 7$

Bước 4.1.5

Nhân $29$ với $- 7$ .

$- 2401 + 2597 - 203 + 7$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $- 2401$ và $2597$ .

$196 - 203 + 7$

Bước 4.2.2

Trừ $203$ khỏi $196$ .

$- 7 + 7$

Bước 4.2.3

Cộng $- 7$ và $7$ .

$0$

Bước 5

Vì $- 7$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 7$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7}{x + 7}$

Bước 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$- 7$	$7$	$53$	$29$	$7$

Bước 6.2

Số đầu tiên trong số bị chia $(7)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$- 7$	$7$	$53$	$29$	$7$

	$7$

Bước 6.3

Nhân số mới nhất trong kết quả $(7)$ với số chia $(- 7)$ và đặt kết quả của $(- 49)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(53)$ .

$- 7$	$7$	$53$	$29$	$7$
		$- 49$
	$7$

Bước 6.4

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 7$	$7$	$53$	$29$	$7$
		$- 49$
	$7$	$4$

Bước 6.5

Nhân số mới nhất trong kết quả $(4)$ với số chia $(- 7)$ và đặt kết quả của $(- 28)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(29)$ .

$- 7$	$7$	$53$	$29$	$7$
		$- 49$	$- 28$
	$7$	$4$

Bước 6.6

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 7$	$7$	$53$	$29$	$7$
		$- 49$	$- 28$
	$7$	$4$	$1$

Bước 6.7

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(- 7)$ và đặt kết quả của $(- 7)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(7)$ .

$- 7$	$7$	$53$	$29$	$7$
		$- 49$	$- 28$	$- 7$
	$7$	$4$	$1$

Bước 6.8

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$- 7$	$7$	$53$	$29$	$7$
		$- 49$	$- 28$	$- 7$
	$7$	$4$	$1$	$0$

Bước 6.9

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$7 x^{2} + 4 x + 1$

Bước 7

Giải phương trình để tìm các nghiệm còn lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7.2

Thay các giá trị $a = 7$ , $b = 4$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.1.2.2

Nhân $- 28$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.1.3

Trừ $28$ khỏi $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.3.2

Nhân $2$ với $7$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{14}$

Bước 7.3.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{14}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{3}}{7}$

Bước 7.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.1.2.2

Nhân $- 28$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.1.3

Trừ $28$ khỏi $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.4.2

Nhân $2$ với $7$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{14}$

Bước 7.4.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{14}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{3}}{7}$

Bước 7.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 2 + i \sqrt{3}}{7}$

Bước 7.4.5

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + i \sqrt{3}}{7}$

Bước 7.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (- i \sqrt{3})}{7}$

Bước 7.4.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (2) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - i \sqrt{3})}{7}$

Bước 7.4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{2 - i \sqrt{3}}{7}$

Bước 7.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.1.2.2

Nhân $- 28$ với $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.1.3

Trừ $28$ khỏi $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 7}$

Bước 7.5.2

Nhân $2$ với $7$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{14}$

Bước 7.5.3

Rút gọn $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{14}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{3}}{7}$

Bước 7.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 2 - i \sqrt{3}}{7}$

Bước 7.5.5

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - i \sqrt{3}}{7}$

Bước 7.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (i \sqrt{3})}{7}$

Bước 7.5.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (2) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + i \sqrt{3})}{7}$

Bước 7.5.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{2 + i \sqrt{3}}{7}$

Bước 7.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{2 - i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + i \sqrt{3}}{7}$

Bước 8

Đa thức có thể được viết dưới dạng một tập hợp các thừa số tuyến tính.

$(x + 7) (x + \frac{2 - i \sqrt{3}}{7}) (x + \frac{2 + i \sqrt{3}}{7})$

Bước 9

Đây là các nghiệm (các điểm zero) của đa thức $7 x^{3} + 53 x^{2} + 29 x + 7$ .

$x = - 7, - \frac{2 - i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + i \sqrt{3}}{7}$

Bước 10