Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81$

Bước 1

Đặt $x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81$ bằng với $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81 = 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(x^{4} - 3 x^{3}) - 27 x + 81 = 0$

Bước 2.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x^{3} (x - 3) - 27 (x - 3) = 0$

Bước 2.1.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{3} - 27) = 0$

Bước 2.1.3

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$(x - 3) (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Bước 2.1.4

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Bước 2.1.5

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Bước 2.1.5.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Bước 2.1.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Bước 2.1.6

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Nâng $x - 3$ lên lũy thừa $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Bước 2.1.6.2

Nâng $x - 3$ lên lũy thừa $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Bước 2.1.6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Bước 2.1.6.4

Cộng $1$ và $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Bước 2.3

Đặt ${(x - 3)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt ${(x - 3)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 2.3.2

Giải ${(x - 3)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đặt $x - 3$ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 2.3.2.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 2.4

Đặt $x^{2} + 3 x + 9$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x^{2} + 3 x + 9$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Bước 2.4.2

Giải $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.4.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 3$ , và $c = 9$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.1.3

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.1.4

Viết lại $- 27$ ở dạng $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (27)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.1.7

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ đúng.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3