Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\tan (75 °)$

Bước 1

Đầu tiên, chia một góc thành hai góc nơi các giác trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết. Trong trường hợp này, $75 °$ có thể được chia thành $30 + 45$ .

$\tan (30 + 45)$

Bước 2

Sử dụng công thức tính tổng cho tang để rút gọn biểu thức. Công thức nói rằng $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Giá trị chính xác của $\tan (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Bước 3.2

Giá trị chính xác của $\tan (45)$ là $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Bước 3.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Giá trị chính xác của $\tan (30)$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Bước 4.2

Giá trị chính xác của $\tan (45)$ là $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Bước 4.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Bước 5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Bước 7

Nhân $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ với $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Bước 8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ với $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Bước 8.2

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Bước 8.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Bước 8.5

Kết hợp $\sqrt{3}$ và $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Bước 8.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}$

Bước 8.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Bước 8.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.3

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.4.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.5

Triệt tiêu thừa số chung của $3 \sqrt{3} + 3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.5.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.5.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.5.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3}}{2}$

Bước 10.2

Cộng $\sqrt{3}$ và $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 3 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 10.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 10.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4 + 2 \sqrt{3}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Bước 10.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Bước 10.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Bước 10.4.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Bước 10.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 10.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Bước 10.4.4.4

Chia $2 + \sqrt{3}$ cho $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 + \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$3.73205080 \dots$