Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\cos (2 θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 2

Nhân biểu thức với một thừa số của $1$ để tạo mẫu số chung nhỏ nhất (MCNN) của $2$ .

$\cos (2 θ) \cdot 2$

Bước 3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 θ)$ .

$\frac{2 \cos (2 θ)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4

Rút gọn $\cos (2 θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia $2$ cho $2$ .

$\cos (2 θ) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4.2

Nhân $\cos (2 θ)$ với $1$ .

$\cos (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 5

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$2 θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 6

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $2 θ = \frac{π}{6}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $2 θ = \frac{π}{6}$ cho $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 7.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 7.3.2

Nhân $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $\frac{π}{6}$ với $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Bước 7.3.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Bước 8

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Bước 9

Giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 9.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 9.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 9.1.4

Nhân $6$ với $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - π}{6}$

Bước 9.1.5

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$2 θ = \frac{11 π}{6}$

Bước 9.2

Chia mỗi số hạng trong $2 θ = \frac{11 π}{6}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 θ = \frac{11 π}{6}$ cho $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Bước 9.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Bước 9.2.2.1.2

Chia $θ$ cho $1$ .

$θ = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Bước 9.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 9.2.3.2

Nhân $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.2.1

Nhân $\frac{11 π}{6}$ với $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{11 π}{6 \cdot 2}$

Bước 9.2.3.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$θ = \frac{11 π}{12}$

Bước 10

Tìm chu kỳ của $\cos (2 θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 10.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 10.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 10.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 10.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 11

Chu kỳ của hàm $\cos (2 θ)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$