Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = \frac{3 x + 2}{4 x - 7}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{3 x + 2}{4 x - 7})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = 3 x + 2$ và $g (y) = 4 x - 7$ .

$\frac{(4 x - 7) \frac{d}{d y} [3 x + 2] - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 2$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{(4 x - 7) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + 0) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $3 x'$ và $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x') - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.5.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $4 x - 7$ .

$\frac{3 \cdot (4 x - 7) x' - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 7$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.7

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $y$ là $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.8

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.9

Vì $- 7$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + 0)}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Cộng $4 x'$ và $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x')}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.10.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(3 (4 x) + 3 \cdot - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' + (- 4 (3 x) - 4 \cdot 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.5.1.1

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12 x x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.5.1.2

Nhân $3$ với $- 7$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.5.1.3

Nhân $3$ với $- 4$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.5.1.4

Nhân $- 4$ với $2$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.5.2.1

Trừ $12 x x'$ khỏi $12 x x'$ .

$\frac{0 - 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.5.2.2

Trừ $21 x'$ khỏi $0$ .

$\frac{- 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.5.3

Trừ $8 x'$ khỏi $- 21 x'$ .

$\frac{- 29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 3.11.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = - \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ .

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 5.2.2.2

Chia $\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$ cho $1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = - 1$

Bước 5.3

Nhân cả hai vế với ${(4 x - 7)}^{2}$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Bước 5.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(4 x - 7)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Bước 5.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ cho $29$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ cho $29$ .

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $29$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$