Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = \frac{2 x}{x - 3}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{2 y}{y - 3}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân phương trình với $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x - 3 x = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x - 3 x = \frac{2 y}{y - 3} (y - 3)$

Bước 2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y x - 3 x = 2 y$

Bước 2.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x - 3 x - 2 y = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $3 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - 2 y = 3 x$

Bước 2.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - 2 y = 3 x$

Bước 2.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 3 x$

Bước 2.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 3 x$

Bước 2.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 2) = 3 x$ cho $x - 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 2) = 3 x$ cho $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

Bước 2.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

Bước 2.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{3 x}{x - 2}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 3})}{(\frac{2 x}{x - 3}) - 2}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2 x}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2}$

Bước 4.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2 \cdot \frac{x - 3}{x - 3}}$

Bước 4.2.4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} + \frac{- 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Bước 4.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Bước 4.2.4.4

Viết lại $\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 2 (x - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Bước 4.2.4.4.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 (x - 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 3))}{x - 3}}$

Bước 4.2.4.4.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (- (x - 3))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - (x - 3))}{x - 3}}$

Bước 4.2.4.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

Bước 4.2.4.4.3

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

Bước 4.2.4.4.4

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{x - 3}}$

Bước 4.2.4.4.5

Cộng $0$ và $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{x - 3}}$

Bước 4.2.4.5

Nhân $2$ với $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

Bước 4.2.5

Nhân $3$ với $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

Bước 4.2.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Bước 4.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Bước 4.2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Bước 4.2.7.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Bước 4.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Bước 4.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{3 x}{x - 2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{x - 2})}{(\frac{3 x}{x - 2}) - 3}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Bước 4.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Bước 4.3.4.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Bước 4.3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Bước 4.3.4.4

Viết lại $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x - 3 (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.4.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Bước 4.3.4.4.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 (x - 2)$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Bước 4.3.4.4.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Bước 4.3.4.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Bước 4.3.4.4.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Bước 4.3.4.4.4

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

Bước 4.3.4.4.5

Cộng $0$ và $2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

Bước 4.3.4.5

Nhân $3$ với $2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

Bước 4.3.5

Nhân $2$ với $3$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

Bước 4.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Bước 4.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Bước 4.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Bước 4.3.7.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Bước 4.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Bước 4.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$