Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\log_{4} (\sqrt[3]{\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)}})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)}}$ ở dạng ${(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{4} ({(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}})$

Bước 2

Khai triển $\log_{4} ({(\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})}^{\frac{1}{3}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{1}{3} \log_{4} (\frac{16 ({(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$

Bước 3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{1}{3} \log_{4} (\frac{16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$

Bước 4

Viết lại $\log_{4} (\frac{16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}}{{(x - 1)}^{2} (x + 3)})$ ở dạng $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3))$ .

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Bước 5

Viết lại $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{6})$ ở dạng $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6})$ .

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Bước 6

Viết lại $\log_{4} (16 {(x - 3)}^{2})$ ở dạng $\log_{4} (16) + \log_{4} ({(x - 3)}^{2})$ .

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + \log_{4} ({(x - 3)}^{2}) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Bước 7

Khai triển $\log_{4} ({(x - 3)}^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + 2 \log_{4} (x - 3) + \log_{4} ({(x + 5)}^{6}) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Bước 8

Khai triển $\log_{4} ({(x + 5)}^{6})$ bằng cách di chuyển $6$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{1}{3} (\log_{4} (16) + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Bước 9

Logarit cơ số $4$ của $16$ là $2$ .

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3)))$

Bước 10

Viết lại $\log_{4} ({(x - 1)}^{2} (x + 3))$ ở dạng $\log_{4} ({(x - 1)}^{2}) + \log_{4} (x + 3)$ .

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (\log_{4} ({(x - 1)}^{2}) + \log_{4} (x + 3)))$

Bước 11

Khai triển $\log_{4} ({(x - 1)}^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (2 \log_{4} (x - 1) + \log_{4} (x + 3)))$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - (2 \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3))$

Bước 12.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} (2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - 2 \log_{4} (x - 1) - \log_{4} (x + 3))$

Bước 13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3)) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3)) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Bước 14.2

Nhân $\frac{1}{3} (2 \log_{4} (x - 3))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \log_{4} (x - 3) + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Bước 14.2.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\log_{4} (x - 3)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (6 \log_{4} (x + 5)) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Bước 14.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 \log_{4} (x + 5)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (3 (2 \log_{4} (x + 5))) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Bước 14.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + \frac{1}{3} (3 (2 \log_{4} (x + 5))) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Bước 14.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1)) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Bước 14.4

Nhân $\frac{1}{3} (- 2 \log_{4} (x - 1))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2}{3} \log_{4} (x - 1) + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Bước 14.4.2

Kết hợp $\frac{- 2}{3}$ và $\log_{4} (x - 1)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2 \log_{4} (x - 1)}{3} + \frac{1}{3} (- \log_{4} (x + 3))$

Bước 14.5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\log_{4} (x + 3)$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) + \frac{- 2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} + \frac{2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 17

Đưa $2$ ra ngoài $2 + 2 \log_{4} (x - 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3)}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 17.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 18

Để viết $2 \log_{4} (x + 5)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 19

Kết hợp $2 \log_{4} (x + 5)$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3))}{3} + \frac{2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 21

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \log_{4} (x + 5) \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 (\log_{4} (x + 5) \cdot 3)}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 21.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1 + \log_{4} (x - 3)) + 2 (\log_{4} (x + 5) \cdot 3)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + \log_{4} (x + 5) \cdot 3)}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 21.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\log_{4} (x + 5)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5))}{3} - \frac{2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) - 2 \log_{4} (x - 1)}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 23

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) - 2 \log_{4} (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \log_{4} (x - 1)$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1))}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 23.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1))$ .

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} (x - 1))}{3} - \frac{\log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 (1 + \log_{4} (x - 3) + 3 \log_{4} (x + 5) - \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 25

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \log_{4} (x - 3) + 2 (3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 25.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 2 (3 \log_{4} (x + 5)) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 25.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) + 2 (- \log_{4} (x - 1)) - \log_{4} (x + 3)}{3}$

Bước 25.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 + 2 \log_{4} (x - 3) + 6 \log_{4} (x + 5) - 2 \log_{4} (x - 1) - \log_{4} (x + 3)}{3}$