Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\tan (\frac{7 π}{8})$

Bước 1

Viết lại $\frac{7 π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Bước 2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi cho tang.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Bước 3

Thay đổi $\pm$ thành $-$ vì tang âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Bước 4

Rút gọn $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Bước 4.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Bước 4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$

Bước 4.5

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Bước 4.6

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Bước 4.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Bước 4.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Bước 4.9

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Bước 4.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Bước 4.10.2

Viết lại biểu thức.

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Bước 4.11

Nhân $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ với $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Bước 4.12

Nhân $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ với $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Bước 4.13

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Bước 4.14

Rút gọn.

$- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Bước 4.15

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Bước 4.16

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.16.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Bước 4.16.2

Viết lại biểu thức.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Bước 4.17

Kết hợp $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Bước 4.18

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Bước 4.18.2

Nhân $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.2.1

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Bước 4.18.2.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Bước 4.18.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Bước 4.18.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Bước 4.18.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.3.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Bước 4.18.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Bước 4.18.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Bước 4.18.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Bước 4.18.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Bước 4.18.3.1.5

Tính số mũ.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 4.18.3.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Bước 4.18.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2 \sqrt{2} - 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Bước 4.18.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Bước 4.18.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Bước 4.18.4.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.18.4.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Bước 4.18.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Bước 4.18.4.4.3

Viết lại biểu thức.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Bước 4.18.4.4.4

Chia $\sqrt{2} - 1$ cho $1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Bước 4.18.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Bước 4.18.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Bước 4.19

Cộng $2$ và $1$ .

$- \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Bước 4.20

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $- \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Dạng thập phân:

$- 0.41421356 \dots$