Giải tích sơ cấp Ví dụ

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y - 60 = 0$

Bước 1

Cộng $60$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $4 x^{2} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 4$

$b = - 2$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 4}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (4)}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{4}$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{1}{4}$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 4}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{16}$

Bước 2.4.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$e = 0 - \frac{4 (1)}{16}$

Bước 2.4.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Bước 2.4.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Bước 2.4.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Bước 2.4.2.2

Trừ $\frac{1}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$

Bước 3

Thay $4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$ cho $4 x^{2} - 2 x$ trong phương trình $4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4} + 3 y^{2} + 5 y = 60$

Bước 4

Di chuyển $- \frac{1}{4}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{1}{4}$ vào cả hai vế.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 y^{2} + 5 y = 60 + \frac{1}{4}$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $3 y^{2} + 5 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 3$

$b = 5$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 3}$

Bước 5.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$d = \frac{5}{6}$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 3}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 3}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $3$ .

$e = 0 - \frac{25}{12}$

Bước 5.4.2.2

Trừ $\frac{25}{12}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{25}{12}$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ .

$3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

Bước 6

Thay $3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ cho $3 y^{2} + 5 y$ trong phương trình $4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12} = 60 + \frac{1}{4}$

Bước 7

Di chuyển $- \frac{25}{12}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{25}{12}$ vào cả hai vế.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 60 + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Bước 8

Rút gọn $60 + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Viết $60$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60}{1} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Bước 8.1.2

Nhân $\frac{60}{1}$ với $\frac{12}{12}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Bước 8.1.3

Nhân $\frac{60}{1}$ với $\frac{12}{12}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Bước 8.1.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{12}$

Bước 8.1.5

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{25}{12}$

Bước 8.1.6

Sắp xếp lại các thừa số của $4 \cdot 3$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{25}{12}$

Bước 8.1.7

Nhân $3$ với $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{12} + \frac{25}{12}$

Bước 8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12 + 3 + 25}{12}$

Bước 8.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $60$ với $12$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{720 + 3 + 25}{12}$

Bước 8.3.2

Cộng $720$ và $3$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{723 + 25}{12}$

Bước 8.3.3

Cộng $723$ và $25$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{748}{12}$

Bước 8.4

Triệt tiêu thừa số chung của $748$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $748$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 (187)}{12}$

Bước 8.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 \cdot 187}{4 \cdot 3}$

Bước 8.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 \cdot 187}{4 \cdot 3}$

Bước 8.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{187}{3}$

Bước 9

Chia mỗi số hạng cho $\frac{187}{3}$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{4 {(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{187}{3}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{6})}^{2}}{\frac{187}{3}} = \frac{\frac{187}{3}}{\frac{187}{3}}$

Bước 10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{187}{12}} + \frac{{(y + \frac{5}{6})}^{2}}{\frac{187}{9}} = 1$