Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x + 2}{x - 3}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{y + 2}{y - 3}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân phương trình với $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y x - 3 x = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y x - 3 x = \frac{y + 2}{y - 3} (y - 3)$

Bước 2.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y x - 3 x = y + 2$

Bước 2.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x - 3 x - y = 2$

Bước 2.4.2

Cộng $3 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - y = 2 + 3 x$

Bước 2.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - y = 2 + 3 x$

Bước 2.4.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 3 x$

Bước 2.4.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 + 3 x$

Bước 2.4.4

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = 2 + 3 x$ cho $x - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 1) = 2 + 3 x$ cho $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Bước 2.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Bước 2.4.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Bước 2.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{(\frac{x + 2}{x - 3}) - 1}$

Bước 4.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân $\frac{2 + 3 \frac{x + 2}{x - 3}}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$ với $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$

Bước 4.2.3.2

Kết hợp.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3} - 1)}$

Bước 4.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Đưa $x - 3$ ra ngoài $(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) \cdot 3 \frac{x + 2}{x - 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1.1

Đưa $x - 3$ ra ngoài $(x - 3) \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2) + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.1.2

Đưa $x - 3$ ra ngoài $(x - 3) (2) + (x - 3) (3 \frac{x + 2}{x - 3})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.2

Kết hợp $3$ và $\frac{x + 2}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3)}{x - 3} + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3) + 3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.6

Viết lại $\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x + 2 \cdot - 3}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.6.4

Nhân $2$ với $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.6.5

Cộng $3 x$ và $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 6 - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.6.6

Trừ $6$ khỏi $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 0}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.6.6.7

Cộng $5 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Bước 4.2.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}$

Bước 4.2.7.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x - 3 \cdot - 1}$

Bước 4.2.7.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x + 3}$

Bước 4.2.7.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - x + 3}$

Bước 4.2.7.5

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{0 + 2 + 3}$

Bước 4.2.7.6

Cộng $0$ và $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{2 + 3}$

Bước 4.2.7.7

Cộng $2$ và $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{5}$

Bước 4.2.8

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.1

Đưa $\frac{5 x}{x - 3}$ ra ngoài $\frac{(x - 3) \frac{5 x}{x - 3}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Bước 4.2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Bước 4.2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Bước 4.2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Bước 4.2.8.3

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Bước 4.2.8.3.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{2 + 3 x}{x - 1})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) - 3}$

Bước 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $\frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$ với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Bước 4.3.3.2

Kết hợp.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2)}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Bước 4.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.5

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.6.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.6.4

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x + 0}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.6.5

Cộng $3 x + 2 x$ và $0$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.6.6

Cộng $3 x$ và $2 x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Bước 4.3.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Bước 4.3.7.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Bước 4.3.7.3

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Bước 4.3.7.4

Cộng $2$ và $3$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 x - 3 x + 5}$

Bước 4.3.7.5

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

Bước 4.3.7.6

Cộng $0$ và $5$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Bước 4.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Bước 4.3.8.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$