Giải tích sơ cấp Ví dụ

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

Bước 1

Đây là dãy cấp số nhân vì giữa các số hạng kề nhau có một tỉ số chung. Trong trường hợp này, ta nhân số hạng đứng trước với $\frac{1}{2}$ sẽ cho ra số hạng kế tiếp trong dãy. Nói cách khác, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Cấp số nhân: $r = \frac{1}{2}$

Bước 2

Đây là dạng của một cấp số nhân.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Bước 3

Thay vào các giá trị của $a_{1} = 1$ và $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Bước 4

Nhân ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ với $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Bước 6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$

Bước 7

Đây là công thức để tìm tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Để tính, hãy tìm các giá trị của $r$ và $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Bước 8

Thay thế các biến bằng các giá trị đã biết để tìm $S_{7}$ .

$S_{7} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 9

Nhân $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ với $1$ .

$S_{7} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 10

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 10.2

Kết hợp.

$S_{7} = \frac{2 ({(\frac{1}{2})}^{7} - 1)}{2 (\frac{1}{2} - 1)}$

Bước 11

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Bước 12.2

Viết lại biểu thức.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2^{7}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2^{7}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.2.3

Viết lại biểu thức.

$S_{7} = \frac{\frac{1^{7}}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$S_{7} = \frac{\frac{1}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $6$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.6

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.7

Kết hợp $- 2$ và $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.9.1

Nhân $- 2$ với $64$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 128}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.9.2

Trừ $128$ khỏi $1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{- 127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 13.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Bước 14

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 - 2}$

Bước 14.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{- 1}$

Bước 15

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$S_{7} = \frac{\frac{127}{64}}{1}$

Bước 15.2

Chia $\frac{127}{64}$ cho $1$ .

$S_{7} = \frac{127}{64}$