Giải tích sơ cấp Ví dụ

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 18 y = 1$

Bước 1

Chia cả hai vế của phương trình cho $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} - 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{5}{2}$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Bước 2.4.2.2

Trừ $\frac{25}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Bước 3

Thay ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ cho $x^{2} - 5 x$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 9 y = \frac{1}{2}$

Bước 4

Di chuyển $- \frac{25}{4}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{25}{4}$ vào cả hai vế.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 9 y = \frac{1}{2} + \frac{25}{4}$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} - 9 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Bước 5.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{9}{2}$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Bước 5.4.2.2

Trừ $\frac{81}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Bước 6

Thay ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ cho $y^{2} - 9 y$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4}$

Bước 7

Di chuyển $- \frac{81}{4}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{81}{4}$ vào cả hai vế.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{81}{4}$

Bước 8

Rút gọn $\frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{81}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{25 + 81}{4}$

Bước 8.2

Cộng $25$ và $81$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{106}{4}$

Bước 8.3

Triệt tiêu thừa số chung của $106$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $106$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 (53)}{4}$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Bước 8.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Bước 8.3.2.3

Viết lại biểu thức.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{53}{2}$

Bước 8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1 + 53}{2}$

Bước 8.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Cộng $1$ và $53$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{54}{2}$

Bước 8.5.2

Chia $54$ cho $2$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 27$

Bước 9

Đây là dạng của một đường tròn. Sử dụng dạng này để xác định tâm và bán kính của đường tròn.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Bước 10

Tương ứng các giá trị trong đường tròn này với dạng chính tắc. Biến $r$ là bán kính của đường tròn, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$r = 3 \sqrt{3}$

$h = \frac{5}{2}$

$k = \frac{9}{2}$

Bước 11

Tìm được tâm của đường tròn tại $(h, k)$ .

Tâm: $(\frac{5}{2}, \frac{9}{2})$

Bước 12

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một đường tròn.

Tâm: $(\frac{5}{2}, \frac{9}{2})$

Bán kính: $3 \sqrt{3}$

Bước 13