Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = 3 x^{2} - 24 x + 49$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hoàn thành bình phương cho $3 x^{2} - 24 x + 49$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 49$

Bước 1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 24$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Bước 1.1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

Bước 1.1.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Bước 1.1.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 12}{3}$

Bước 1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 12$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

Bước 1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

Bước 1.1.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

Bước 1.1.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 4}{1}$

Bước 1.1.3.2.2.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$d = - 4$

Bước 1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 49 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Nâng $- 24$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 49 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $3$ .

$e = 49 - \frac{576}{12}$

Bước 1.1.4.2.1.3

Chia $576$ cho $12$ .

$e = 49 - 1 \cdot 48$

Bước 1.1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $48$ .

$e = 49 - 48$

Bước 1.1.4.2.2

Trừ $48$ khỏi $49$ .

$e = 1$

Bước 1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $3 {(x - 4)}^{2} + 1$ .

$3 {(x - 4)}^{2} + 1$

Bước 1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = 3 {(x - 4)}^{2} + 1$

Bước 2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = 3$

$h = 4$

$k = 1$

Bước 3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(4, 1)$

Bước 5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Bước 5.3

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{1}{12}$

Bước 6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(4, \frac{13}{12})$

Bước 7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = 4$

Bước 8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = \frac{11}{12}$

Bước 9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(4, 1)$

Tiêu điểm: $(4, \frac{13}{12})$

Trục đối xứng: $x = 4$

Đường chuẩn: $y = \frac{11}{12}$

Bước 10