Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{2} + y^{2} - x + 8 y + 16 = 0$

Bước 1

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + y^{2} - x + 8 y = - 16$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 1$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{1}{2}$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Bước 2.4.2.2

Trừ $\frac{1}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Bước 3

Thay ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ cho $x^{2} - x$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - x + 8 y = - 16$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 8 y = - 16$

Bước 4

Di chuyển $- \frac{1}{4}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{1}{4}$ vào cả hai vế.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 8 y = - 16 + \frac{1}{4}$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} + 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Bước 5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{4}{1}$

Bước 5.3.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$d = 4$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Bước 5.4.2.1.3

Chia $64$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Bước 5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $16$ .

$e = 0 - 16$

Bước 5.4.2.2

Trừ $16$ khỏi $0$ .

$e = - 16$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y + 4)}^{2} - 16$ .

${(y + 4)}^{2} - 16$

Bước 6

Thay ${(y + 4)}^{2} - 16$ cho $y^{2} + 8 y$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - x + 8 y = - 16$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = - 16 + \frac{1}{4}$

Bước 7

Di chuyển $- 16$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $16$ vào cả hai vế.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - 16 + \frac{1}{4} + 16$

Bước 8

Rút gọn $- 16 + \frac{1}{4} + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Viết $- 16$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16}{1} + \frac{1}{4} + 16$

Bước 8.1.2

Nhân $\frac{- 16}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 16$

Bước 8.1.3

Nhân $\frac{- 16}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 16$

Bước 8.1.4

Viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{16}{1}$

Bước 8.1.5

Nhân $\frac{16}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 8.1.6

Nhân $\frac{16}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Bước 8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 16 \cdot 4 + 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Bước 8.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $- 16$ với $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 64 + 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Bước 8.3.2

Nhân $16$ với $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 64 + 1 + 64}{4}$

Bước 8.4

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Cộng $- 64$ và $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 63 + 64}{4}$

Bước 8.4.2

Cộng $- 63$ và $64$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{1}{4}$

Bước 9

Đây là dạng của một đường tròn. Sử dụng dạng này để xác định tâm và bán kính của đường tròn.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Bước 10

Tương ứng các giá trị trong đường tròn này với dạng chính tắc. Biến $r$ là bán kính của đường tròn, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$r = \frac{1}{2}$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - 4$

Bước 11

Tìm được tâm của đường tròn tại $(h, k)$ .

Tâm: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Bước 12

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một đường tròn.

Tâm: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Bán kính: $\frac{1}{2}$

Bước 13