Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{25} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{25} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 4$

$b = 5$

$k = 3$

$h = - 5$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(- 5, 3)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{16 + {(5)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{16 + 25}$

Bước 5.3.3

Cộng $16$ và $25$ .

$\sqrt{41}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 5, 7)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 5, - 1)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(- 5, 7), (- 5, - 1)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 5, 3 + \sqrt{41})$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 5, 3 - \sqrt{41})$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(- 5, 3 + \sqrt{41}), (- 5, 3 - \sqrt{41})$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}}{4}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 5^{2}}}{4}$

Bước 8.3.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 25}}{4}$

Bước 8.3.3

Cộng $16$ và $25$ .

$\frac{\sqrt{41}}{4}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{41}}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{41}}$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{25}{\sqrt{41}}$ với $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Bước 9.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $\frac{25}{\sqrt{41}}$ với $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Bước 9.3.3.2

Nâng $\sqrt{41}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Bước 9.3.3.3

Nâng $\sqrt{41}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Bước 9.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Bước 9.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{41}}^{2}$ ở dạng $41$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{41}$ ở dạng $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Bước 9.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$

Bước 11.2

Rút gọn $\frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$y = \frac{4}{5} \cdot (x + 5) + 3$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

Bước 11.2.1.3

Kết hợp $\frac{4}{5}$ và $x$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

Bước 11.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

Bước 11.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{4 x}{5} + 4 + 3$

Bước 11.2.2

Cộng $4$ và $3$ .

$y = \frac{4 x}{5} + 7$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$

Bước 12.2

Rút gọn $- \frac{4}{5} \cdot (x - (- 5)) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x + 5) + 3$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

Bước 12.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 5 + 3$

Bước 12.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{4}{5}$ vào tử số.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot 5 + 3$

Bước 12.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot 5 + 3$

Bước 12.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - 4 + 3$

Bước 12.2.1.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{4 x}{5} - 4 + 3$

Bước 12.2.2

Cộng $- 4$ và $3$ .

$y = - \frac{4 x}{5} - 1$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{4 x}{5} + 7, y = - \frac{4 x}{5} - 1$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(- 5, 3)$

Các đỉnh: $(- 5, 7), (- 5, - 1)$

Tiêu điểm: $(- 5, 3 + \sqrt{41}), (- 5, 3 - \sqrt{41})$

Tâm sai: $\frac{\sqrt{41}}{4}$

Tham số tiêu: $\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{4 x}{5} + 7$ , $y = - \frac{4 x}{5} - 1$

Bước 15