Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(x + 2)}^{2} = 12 (y - 1)$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách $y$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$ .

$12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $12 (y - 1) = {(x + 2)}^{2}$ cho $12$ .

$\frac{12 (y - 1)}{12} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 (y - 1)}{12} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Chia $y - 1$ cho $1$ .

$y - 1 = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12}$

Bước 1.1.3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + 1$

Bước 1.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $\frac{1}{12} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Viết lại ${(x + 2)}^{2}$ ở dạng $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{1}{12} \cdot ((x + 2) (x + 2)) + 1$

Bước 1.2.1.1.2

Khai triển $(x + 2) (x + 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{12} \cdot (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 1$

Bước 1.2.1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 1$

Bước 1.2.1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 1$

Bước 1.2.1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 1$

Bước 1.2.1.1.3.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 1$

Bước 1.2.1.1.3.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 1$

Bước 1.2.1.1.3.2

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 4 x + 4) + 1$

Bước 1.2.1.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{12} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Bước 1.2.1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.5.1

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{12} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Bước 1.2.1.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Bước 1.2.1.1.5.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (4 (x)) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Bước 1.2.1.1.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{4 \cdot 3} (4 x) + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Bước 1.2.1.1.5.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Bước 1.2.1.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{12} \cdot 4 + 1$

Bước 1.2.1.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.5.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{4 (3)} \cdot 4 + 1$

Bước 1.2.1.1.5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot 4 + 1$

Bước 1.2.1.1.5.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + 1$

Bước 1.2.1.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Bước 1.2.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{1 + 3}{3}$

Bước 1.2.1.4

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Bước 1.2.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = \frac{1}{3}$

$c = \frac{4}{3}$

Bước 1.2.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{3}}{2 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.4.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Bước 1.2.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Bước 1.2.4.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Bước 1.2.4.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Bước 1.2.4.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Bước 1.2.4.2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{1}{3} (1 \cdot 6)$

Bước 1.2.4.2.5

Nhân $6$ với $1$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot 6$

Bước 1.2.4.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 (2))$

Bước 1.2.4.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Bước 1.2.4.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$d = 2$

Bước 1.2.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.5.2.1.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.5.2.1.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{4 (\frac{1}{12})}$

Bước 1.2.5.2.1.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4}{12}}$

Bước 1.2.5.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Bước 1.2.5.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Bước 1.2.5.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Bước 1.2.5.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}$

Bước 1.2.5.2.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{1}{9} \cdot 3)$

Bước 1.2.5.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 (3)} \cdot 3)$

Bước 1.2.5.2.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Bước 1.2.5.2.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$e = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 1.2.5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{4 - 1}{3}$

Bước 1.2.5.2.3

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$e = \frac{3}{3}$

Bước 1.2.5.2.4

Chia $3$ cho $3$ .

$e = 1$

Bước 1.2.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $\frac{1}{12} {(x + 2)}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{12} {(x + 2)}^{2} + 1$

Bước 1.3

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

Bước 2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = - 2$

$k = 1$

Bước 3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Bước 5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Bước 5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Bước 5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

Bước 5.3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 \cdot 3$

Bước 5.3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2, 4)$

Bước 7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = - 2$

Bước 8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - 2$

Bước 9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- 2, 1)$

Tiêu điểm: $(- 2, 4)$

Trục đối xứng: $x = - 2$

Đường chuẩn: $y = - 2$

Bước 10