Giải tích sơ cấp Ví dụ

$4 x^{2} - 25 y^{2} = 100$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng cho $100$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{4 x^{2}}{100} - \frac{25 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Bước 1.2

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(0, 0)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{25 + {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{25 + 4}$

Bước 5.3.3

Cộng $25$ và $4$ .

$\sqrt{29}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(5, 0)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 5, 0)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(5, 0), (- 5, 0)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(\sqrt{29}, 0)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- \sqrt{29}, 0)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(\sqrt{29}, 0), (- \sqrt{29}, 0)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(2)}^{2}}}{5}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 2^{2}}}{5}$

Bước 8.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 4}}{5}$

Bước 8.3.3

Cộng $25$ và $4$ .

$\frac{\sqrt{29}}{5}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{2^{2}}{\sqrt{29}}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{29}}$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{4}{\sqrt{29}}$ với $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

Bước 9.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $\frac{4}{\sqrt{29}}$ với $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\frac{4 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Bước 9.3.3.2

Nâng $\sqrt{29}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} \sqrt{29}}$

Bước 9.3.3.3

Nâng $\sqrt{29}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} {\sqrt{29}}^{1}}$

Bước 9.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

Bước 9.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{29}}^{2}$ ở dạng $29$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{29}$ ở dạng $29^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{4 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \sqrt{29}}{29^{1}}$

Bước 9.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{4 \sqrt{29}}{29}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{2}{5} x + 0$

Bước 11

Rút gọn $\frac{2}{5} x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $\frac{2}{5} x$ và $0$ .

$y = \frac{2}{5} x$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x$ .

$y = \frac{2 x}{5}$

Bước 12

Rút gọn $- \frac{2}{5} x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $- \frac{2}{5} x$ và $0$ .

$y = - \frac{2}{5} x$

Bước 12.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5}$

Bước 12.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5}$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5}$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(0, 0)$

Các đỉnh: $(5, 0), (- 5, 0)$

Tiêu điểm: $(\sqrt{29}, 0), (- \sqrt{29}, 0)$

Tâm sai: $\frac{\sqrt{29}}{5}$

Tham số tiêu: $\frac{4 \sqrt{29}}{29}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{2 x}{5}$ , $y = - \frac{2 x}{5}$

Bước 15