Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{2} - y^{2} - 10 x - 12 y - 12 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $12$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - y^{2} - 10 x - 12 y = 12$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} - 10 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 5}{1}$

Bước 1.2.3.2.2.4

Chia $- 5$ cho $1$ .

$d = - 5$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $100$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $25$ .

$e = 0 - 25$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $25$ khỏi $0$ .

$e = - 25$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x - 5)}^{2} - 25$ .

${(x - 5)}^{2} - 25$

Bước 1.3

Thay ${(x - 5)}^{2} - 25$ cho $x^{2} - 10 x$ trong phương trình $x^{2} - y^{2} - 10 x - 12 y = 12$ .

${(x - 5)}^{2} - 25 - y^{2} - 12 y = 12$

Bước 1.4

Di chuyển $- 25$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $25$ vào cả hai vế.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 12 y = 12 + 25$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $- y^{2} - 12 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 6$

Bước 1.5.3.2.2

Viết lại $- 1 \cdot - 6$ ở dạng $- - 6$ .

$d = - - 6$

Bước 1.5.3.2.3

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$d = 6$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $144$ cho $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $0$ và $36$ .

$e = 36$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(y + 6)}^{2} + 36$ .

$- {(y + 6)}^{2} + 36$

Bước 1.6

Thay $- {(y + 6)}^{2} + 36$ cho $- y^{2} - 12 y$ trong phương trình $x^{2} - y^{2} - 10 x - 12 y = 12$ .

${(x - 5)}^{2} - {(y + 6)}^{2} + 36 = 12 + 25$

Bước 1.7

Di chuyển $36$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $36$ vào cả hai vế.

${(x - 5)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 12 + 25 - 36$

Bước 1.8

Rút gọn $12 + 25 - 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $12$ và $25$ .

${(x - 5)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 37 - 36$

Bước 1.8.2

Trừ $36$ khỏi $37$ .

${(x - 5)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = - 6$

$h = 5$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(5, - 6)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + 1}$

Bước 5.3.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(6, - 6)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(4, - 6)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(6, - 6), (4, - 6)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(5 + \sqrt{2}, - 6)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(5 - \sqrt{2}, - 6)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(5 + \sqrt{2}, - 6), (5 - \sqrt{2}, - 6)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Chia $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ cho $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Bước 8.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Bước 8.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + 1}$

Bước 8.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 9.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 9.3.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 9.3.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 9.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 9.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 9.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm 1 \cdot (x - (5)) - 6$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 1 \cdot (x - (5)) - 6$

Bước 11.2

Rút gọn $1 \cdot (x - (5)) - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $x - (5)$ với $1$ .

$y = x - (5) - 6$

Bước 11.2.1.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$y = x - 5 - 6$

Bước 11.2.2

Trừ $6$ khỏi $- 5$ .

$y = x - 11$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - 1 \cdot (x - (5)) - 6$

Bước 12.2

Rút gọn $- 1 \cdot (x - (5)) - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$y = - 1 \cdot (x - 5) - 6$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 5 - 6$

Bước 12.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 5 - 6$

Bước 12.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$y = - x + 5 - 6$

Bước 12.2.2

Trừ $6$ khỏi $5$ .

$y = - x - 1$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = x - 11, y = - x - 1$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(5, - 6)$

Các đỉnh: $(6, - 6), (4, - 6)$

Tiêu điểm: $(5 + \sqrt{2}, - 6), (5 - \sqrt{2}, - 6)$

Tâm sai: $\sqrt{2}$

Tham số tiêu: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Các đường tiệm cận: $y = x - 11$ , $y = - x - 1$

Bước 15