Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{y^{2}}{576} - \frac{x^{2}}{100} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{y^{2}}{576} - \frac{x^{2}}{100} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 24$

$b = 10$

$k = 0$

$h = 0$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(0, 0)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(24)}^{2} + {(10)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $24$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{576 + {(10)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{576 + 100}$

Bước 5.3.3

Cộng $576$ và $100$ .

$\sqrt{676}$

Bước 5.3.4

Viết lại $676$ ở dạng $26^{2}$ .

$\sqrt{26^{2}}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$26$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, 24)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, - 24)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(0, 24), (0, - 24)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, 26)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, - 26)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(0, 26), (0, - 26)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(24)}^{2} + {(10)}^{2}}}{24}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Nâng $24$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{576 + 10^{2}}}{24}$

Bước 8.3.1.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{576 + 100}}{24}$

Bước 8.3.1.3

Cộng $576$ và $100$ .

$\frac{\sqrt{676}}{24}$

Bước 8.3.1.4

Viết lại $676$ ở dạng $26^{2}$ .

$\frac{\sqrt{26^{2}}}{24}$

Bước 8.3.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{26}{24}$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $26$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $26$ .

$\frac{2 (13)}{24}$

Bước 8.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $24$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Bước 8.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Bước 8.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{13}{12}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{10^{2}}{26}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{100}{26}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $100$ và $26$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $100$ .

$\frac{2 (50)}{26}$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $26$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 13}$

Bước 9.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 13}$

Bước 9.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{50}{13}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm \frac{12}{5} x + 0$

Bước 11

Rút gọn $\frac{12}{5} x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $\frac{12}{5} x$ và $0$ .

$y = \frac{12}{5} x$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{12}{5}$ và $x$ .

$y = \frac{12 x}{5}$

Bước 12

Rút gọn $- \frac{12}{5} x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $- \frac{12}{5} x$ và $0$ .

$y = - \frac{12}{5} x$

Bước 12.2

Kết hợp $x$ và $\frac{12}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 12}{5}$

Bước 12.3

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{12 x}{5}$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{12 x}{5}, y = - \frac{12 x}{5}$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(0, 0)$

Các đỉnh: $(0, 24), (0, - 24)$

Tiêu điểm: $(0, 26), (0, - 26)$

Tâm sai: $\frac{13}{12}$

Tham số tiêu: $\frac{50}{13}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{12 x}{5}$ , $y = - \frac{12 x}{5}$

Bước 15