Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{2} + 2 x + 15 y = - 3 y^{2} + 7$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của elip.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Cộng $3 y^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 2 x + 15 y + 3 y^{2} = 7$

Bước 1.1.2

Di chuyển $15 y$ .

$x^{2} + 2 x + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Bước 1.1.3

Di chuyển $2 x$ .

$x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = 1$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Bước 1.2.4.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e = 0 - 1$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$e = - 1$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Bước 1.3

Thay ${(x + 1)}^{2} - 1$ cho $x^{2} + 2 x$ trong phương trình $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Bước 1.4

Di chuyển $- 1$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $1$ vào cả hai vế.

${(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} + 15 y = 7 + 1$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $3 y^{2} + 15 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 3$

$b = 15$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot 3}$

Bước 1.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$d = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Bước 1.5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{5}{2}$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 3}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $15$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 3}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $3$ .

$e = 0 - \frac{225}{12}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $225$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $225$ .

$e = 0 - \frac{3 (75)}{12}$

Bước 1.5.4.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Bước 1.5.4.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Bước 1.5.4.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{75}{4}$

Bước 1.5.4.2.2

Trừ $\frac{75}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{75}{4}$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ .

$3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$

Bước 1.6

Thay $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ cho $3 y^{2} + 15 y$ trong phương trình $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4} = 7 + 1$

Bước 1.7

Di chuyển $- \frac{75}{4}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{75}{4}$ vào cả hai vế.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 7 + 1 + \frac{75}{4}$

Bước 1.8

Rút gọn $7 + 1 + \frac{75}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1.1

Viết $7$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} + 1 + \frac{75}{4}$

Bước 1.8.1.2

Nhân $\frac{7}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Bước 1.8.1.3

Nhân $\frac{7}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Bước 1.8.1.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} + \frac{75}{4}$

Bước 1.8.1.5

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Bước 1.8.1.6

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Bước 1.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4 + 4 + 75}{4}$

Bước 1.8.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.1

Nhân $7$ với $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{28 + 4 + 75}{4}$

Bước 1.8.3.2

Cộng $28$ và $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{32 + 75}{4}$

Bước 1.8.3.3

Cộng $32$ và $75$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{107}{4}$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $\frac{107}{4}$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{4}} = \frac{\frac{107}{4}}{\frac{107}{4}}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{{(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{12}} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hình elip. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm tâm cùng với trục lớn và trục nhỏ của hình elip.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong elip này với dạng chính tắc. Biến $a$ là bán kính của trục chính của elip, $b$ là bán kính của trục phụ của elip, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$a = \frac{\sqrt{107}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{321}}{6}$

$k = - \frac{5}{2}$

$h = - 1$

Bước 4

Tâm của một elip có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(- 1, - \frac{5}{2})$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của hình elip bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{107}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Bước 5.3.2

Viết lại ${\sqrt{107}}^{2}$ ở dạng $107$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{107}$ ở dạng $107^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Bước 5.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Bước 5.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Bước 5.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Bước 5.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Bước 5.3.2.5

Tính số mũ.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{321}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}}$

Bước 5.3.4

Viết lại ${\sqrt{321}}^{2}$ ở dạng $321$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{321}$ ở dạng $321^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Bước 5.3.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Bước 5.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Bước 5.3.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}}$

Bước 5.3.4.5

Tính số mũ.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}}$

Bước 5.3.5

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}}$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $321$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $321$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}}$

Bước 5.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Bước 5.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Bước 5.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}}$

Bước 5.3.7

Để viết $\frac{107}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}}$

Bước 5.3.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Nhân $\frac{107}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}}$

Bước 5.3.8.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}}$

Bước 5.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}}$

Bước 5.3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.1

Nhân $107$ với $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}}$

Bước 5.3.10.2

Trừ $107$ khỏi $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}}$

Bước 5.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $214$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $214$ .

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}}$

Bước 5.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Bước 5.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Bước 5.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{107}{6}}$

Bước 5.3.12

Viết lại $\sqrt{\frac{107}{6}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$

Bước 5.3.13

Nhân $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ với $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Bước 5.3.14

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.14.1

Nhân $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ với $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Bước 5.3.14.2

Nâng $\sqrt{6}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Bước 5.3.14.3

Nâng $\sqrt{6}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Bước 5.3.14.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Bước 5.3.14.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Bước 5.3.14.6

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.14.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.3.14.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.3.14.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.3.14.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.14.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.3.14.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Bước 5.3.14.6.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6}$

Bước 5.3.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.15.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{107 \cdot 6}}{6}$

Bước 5.3.15.2

Nhân $107$ với $6$ .

$\frac{\sqrt{642}}{6}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một elip bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức.

$(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Bước 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{107}}{2}), - \frac{5}{2})$

Bước 6.5

Rút gọn.

$(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Bước 6.6

Elip có hai đỉnh.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tiêu điểm đầu tiên của một hình elip có thể tìm được bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức.

$(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hình elip bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{642}}{6}), - \frac{5}{2})$

Bước 7.5

Rút gọn.

$(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Bước 7.6

Elip có hai tiêu điểm.

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}}{\frac{\sqrt{107}}{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{107}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.3

Viết lại ${\sqrt{107}}^{2}$ ở dạng $107$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{107}$ ở dạng $107^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.3.5

Tính số mũ.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{321}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.5

Viết lại ${\sqrt{321}}^{2}$ ở dạng $321$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{321}$ ở dạng $321^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.5.5

Tính số mũ.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.6

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $321$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $321$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.8

Để viết $\frac{107}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.9

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.1

Nhân $\frac{107}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.9.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.11.1

Nhân $107$ với $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.11.2

Trừ $107$ khỏi $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $214$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $214$ .

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{107}{6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.13

Viết lại $\sqrt{\frac{107}{6}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.14

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{107}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Bước 8.3.14.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot 2$

Bước 8.3.15

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{6}}$ và $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.16

Nhân $\frac{2}{\sqrt{6}}$ với $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Bước 8.3.17

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.17.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{6}}$ với $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Bước 8.3.17.2

Nâng $\sqrt{6}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Bước 8.3.17.3

Nâng $\sqrt{6}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Bước 8.3.17.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.17.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Bước 8.3.17.6

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.17.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.17.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.17.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.17.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.17.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.17.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Bước 8.3.17.6.5

Tính số mũ.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Bước 8.3.18

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.18.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

Bước 8.3.18.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.18.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Bước 8.3.18.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Bước 8.3.18.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bước 9

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hình elip.

Tâm: $(- 1, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Tâm sai: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bước 10