Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 5}^{15} (- 10) {(- 1)}^{k - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{- 10 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{- 10 {(- 1)}^{k - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{- 10 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{- 10 {(- 1)}^{k - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1 - 1}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ và ${(- 1)}^{k - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(- 1)}^{k - 1}$ ra ngoài ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia ${(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Bước 2.2.3

Cộng $k$ và $0$ .

$r = {(- 1)}^{k - (k - 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(- 1)}^{k - k - - 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(- 1)}^{k - k + 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $k$ khỏi $k$ .

$r = {(- 1)}^{0 + 1}$

Bước 2.2.6

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(- 1)}^{1}$

Bước 2.2.7

Tính số mũ.

$r = - 1$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $5$ cho $k$ vào $(- 10) {(- 1)}^{k - 1}$ .

$a = - 10 {(- 1)}^{5 - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$a = - 10 {(- 1)}^{4}$

Bước 3.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$a = - 10 \cdot 1$

Bước 3.2.3

Nhân $- 10$ với $1$ .

$a = - 10$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$- 10 \frac{1 - {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{11}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{11}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Bước 5.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 11}}{1 - - 1}$

Bước 5.1.1.2

Cộng $1$ và $11$ .

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{12}}{1 - - 1}$

Bước 5.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $12$ .

$- 10 \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

Bước 5.1.3

Cộng $1$ và $1$ .

$- 10 \frac{2}{1 - - 1}$

Bước 5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 10 \frac{2}{1 + 1}$

Bước 5.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$- 10 (\frac{2}{2})$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 10 (\frac{2}{2})$

Bước 5.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 10 \cdot 1$

Bước 5.4

Nhân $- 10$ với $1$ .

$- 10$