Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{8} 7 {(\frac{1}{10})}^{k}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{7 {(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{7 {(\frac{1}{10})}^{k}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{7 {(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{7 {(\frac{1}{10})}^{k}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{10})}^{k}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{1}{10})}^{k + 1}$ và ${(\frac{1}{10})}^{k}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(\frac{1}{10})}^{k}$ ra ngoài ${(\frac{1}{10})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{\frac{1}{10}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia $\frac{1}{10}$ cho $1$ .

$r = \frac{1}{10}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $k$ vào $7 {(\frac{1}{10})}^{k}$ .

$a = 7 {(\frac{1}{10})}^{1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn.

$a = 7 (\frac{1}{10})$

Bước 3.2.2

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{10}$ .

$a = \frac{7}{10}$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}}$ với $\frac{10}{10}$ .

$\frac{7}{10} (\frac{10}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}})$

Bước 5.1.2

Kết hợp.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 (1 - {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 (1 - \frac{1}{10})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (- \frac{1}{10})}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{10}$ vào tử số.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 1}{10})}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 1}{10})}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $10$ với $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{10}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 (- \frac{1^{8}}{10^{8}})}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1^{8}}{10^{8}}$ vào tử số.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10^{8}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $10$ ra ngoài $10^{8}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1^{8}}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 1}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.5

Nâng $10$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.8

Để viết $10$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{10000000}{10000000}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot \frac{10000000}{10000000} - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.9

Kết hợp $10$ và $\frac{10000000}{10000000}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{10 \cdot 10000000}{10000000} - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{10 \cdot 10000000 - 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.1

Nhân $10$ với $10000000$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{100000000 - 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.11.2

Trừ $1$ khỏi $100000000$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $10$ với $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{10 - 1}$

Bước 5.5.2

Trừ $1$ khỏi $10$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{9}$

Bước 5.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{7}{10} (\frac{99999999}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

Bước 5.7

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $99999999$ .

$\frac{7}{10} (\frac{9 (11111111)}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{10} (\frac{9 \cdot 11111111}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

Bước 5.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{11111111}{10000000}$

Bước 5.8

Nhân $\frac{7}{10} \cdot \frac{11111111}{10000000}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Nhân $\frac{7}{10}$ với $\frac{11111111}{10000000}$ .

$\frac{7 \cdot 11111111}{10 \cdot 10000000}$

Bước 5.8.2

Nhân $7$ với $11111111$ .

$\frac{77777777}{10 \cdot 10000000}$

Bước 5.8.3

Nhân $10$ với $10000000$ .

$\frac{77777777}{100000000}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{77777777}{100000000}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{7}$