Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{8} - 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ và ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ ra ngoài ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia ${(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Bước 2.2.3

Cộng $k$ và $0$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - (k - 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k - - 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k + 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $k$ khỏi $k$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{0 + 1}$

Bước 2.2.6

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{1}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$r = - \frac{3}{5}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $k$ vào $- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{1 - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{0}$

Bước 3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0})$

Bước 3.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Bước 3.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = - 3 (1 \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Bước 3.2.4

Nhân $\frac{3^{0}}{5^{0}}$ với $1$ .

$a = - 3 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Bước 3.2.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = - 3 \frac{1}{5^{0}}$

Bước 3.2.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$a = - 3 \cdot 1$

Bước 3.2.8

Nhân $- 3$ với $1$ .

$a = - 3$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$- 3 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{8}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{3}{5})}^{8})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{3^{8}}{5^{8}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{8}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Di chuyển ${(- 1)}^{8}$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.2.2

Nhân ${(- 1)}^{8}$ với $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.2.3

Cộng $8$ và $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $9$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.5

Nâng $5$ lên lũy thừa $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- 3 \frac{\frac{390625}{390625} - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 3 \frac{\frac{390625 - 6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.1.8

Trừ $6561$ khỏi $390625$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Bước 5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- - \frac{3}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $\frac{3}{5}$ với $1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + \frac{3}{5}}$

Bước 5.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

Bước 5.2.4

Cộng $5$ và $3$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{8}{5}}$

Bước 5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- 3 (\frac{384064}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $8$ ra ngoài $384064$ .

$- 3 (\frac{8 (48008)}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 3 (\frac{8 \cdot 48008}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức.

$- 3 (\frac{48008}{390625} \cdot 5)$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $5$ ra ngoài $390625$ .

$- 3 (\frac{48008}{5 (78125)} \cdot 5)$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 3 (\frac{48008}{5 \cdot 78125} \cdot 5)$

Bước 5.5.3

Viết lại biểu thức.

$- 3 (\frac{48008}{78125})$

Bước 5.6

Nhân $- 3 (\frac{48008}{78125})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{48008}{78125}$ .

$\frac{- 3 \cdot 48008}{78125}$

Bước 5.6.2

Nhân $- 3$ với $48008$ .

$\frac{- 144024}{78125}$

Bước 5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{144024}{78125}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{144024}{78125}$

Dạng thập phân:

$- 1.8435072$

Dạng hỗn số:

$- 1 \frac{65899}{78125}$