Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{8} 200 {(1.01)}^{- k}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{200 \cdot {1.01}^{- (k + 1)}}{200 \cdot {1.01}^{- k}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $200$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{200 \cdot {1.01}^{- (k + 1)}}{200 \cdot {1.01}^{- k}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{1.01}^{- (k + 1)}}{{1.01}^{- k}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${1.01}^{- (k + 1)}$ và ${1.01}^{- k}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${1.01}^{- k}$ ra ngoài ${1.01}^{- (k + 1)}$ .

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{1.01}^{- k} \cdot {1.01}^{- (k + 1) + k}}{{1.01}^{- k} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{1.01}^{- (k + 1) + k}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia ${1.01}^{- (k + 1) + k}$ cho $1$ .

$r = {1.01}^{- (k + 1) + k}$

Bước 2.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {1.01}^{- k - 1 \cdot 1 + k}$

Bước 2.2.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$r = {1.01}^{- k - 1 + k}$

Bước 2.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- k - 1 + k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Cộng $- k$ và $k$ .

$r = {1.01}^{0 - 1}$

Bước 2.2.4.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$r = {1.01}^{- 1}$

Bước 2.2.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{1.01}$

Bước 2.2.6

Chia $1$ cho $1.01$ .

$r = 0.\overline{9900}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $k$ vào $200 {(1.01)}^{- k}$ .

$a = 200 \cdot {1.01}^{- 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a = 200 \cdot \frac{1}{1.01}$

Bước 3.2.2

Chia $1$ cho $1.01$ .

$a = 200 \cdot 0.\overline{9900}$

Bước 3.2.3

Nhân $200$ với $0.\overline{9900}$ .

$a = 198.\overline{0198}$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$198.\overline{0198} \frac{1 - {0.\overline{9900}}^{8}}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $0.\overline{9900}$ lên lũy thừa $8$ .

$198.\overline{0198} \frac{1 - 1 \cdot 0.92348322}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 1$ với $0.92348322$ .

$198.\overline{0198} \frac{1 - 0.92348322}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Bước 5.1.3

Trừ $0.92348322$ khỏi $1$ .

$198.\overline{0198} \frac{0.07651677}{1 - 1 \cdot 0.\overline{9900}}$

Bước 5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- 1$ với $0.\overline{9900}$ .

$198.\overline{0198} \frac{0.07651677}{1 - 0.\overline{9900}}$

Bước 5.2.2

Trừ $0.\overline{9900}$ khỏi $1$ .

$198.\overline{0198} (\frac{0.07651677}{0.\overline{0099}})$

Bước 5.3

Chia $0.07651677$ cho $0.\overline{0099}$ .

$198.\overline{0198} \cdot 7.72819452$

Bước 5.4

Nhân $198.\overline{0198}$ với $7.72819452$ .

$1530.33555035$