Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3 - 5 k}{4}$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $k$ bằng $1$ .

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} - \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$

Bước 2

Tính $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$

Bước 2.2

Tính $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(\frac{3}{4}) (46)$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 46$

Bước 2.2.3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $46$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Bước 2.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Bước 2.2.3.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} \cdot 23$

Bước 2.2.3.2

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $23$ .

$\frac{3 \cdot 23}{2}$

Bước 2.2.3.3

Nhân $3$ với $23$ .

$\frac{69}{2}$

Bước 2.3

Tính $\sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $- \frac{5}{4}$ ra ngoài tổng.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{46} k$

Bước 2.3.2

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 2.3.3

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{46 (46 + 1)}{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Cộng $46$ và $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{46 \cdot 47}{2}$

Bước 2.3.4.1.2

Nhân $46$ với $47$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Bước 2.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5}{4}$ vào tử số.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Bước 2.3.4.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{2162}{2}$

Bước 2.3.4.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2162$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Bước 2.3.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Bước 2.3.4.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{1081}{2}$

Bước 2.3.4.3

Nhân $\frac{- 5}{2}$ với $\frac{1081}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 1081}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.4.1

Nhân $- 5$ với $1081$ .

$\frac{- 5405}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.4.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- 5405}{4}$

Bước 2.3.4.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5405}{4}$

Bước 2.4

Cộng các kết quả của tổng.

$\frac{69}{2} - \frac{5405}{4}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để viết $\frac{69}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5405}{4}$

Bước 2.5.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Nhân $\frac{69}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5405}{4}$

Bước 2.5.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{69 \cdot 2}{4} - \frac{5405}{4}$

Bước 2.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{69 \cdot 2 - 5405}{4}$

Bước 2.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Nhân $69$ với $2$ .

$\frac{138 - 5405}{4}$

Bước 2.5.4.2

Trừ $5405$ khỏi $138$ .

$\frac{- 5267}{4}$

Bước 2.5.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5267}{4}$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$

Bước 3.2

Tính $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 3.2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(\frac{3}{4}) (14)$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 14$

Bước 3.2.3.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Bước 3.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Bước 3.2.3.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} \cdot 7$

Bước 3.2.3.2

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $7$ .

$\frac{3 \cdot 7}{2}$

Bước 3.2.3.3

Nhân $3$ với $7$ .

$\frac{21}{2}$

Bước 3.3

Tính $\sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $- \frac{5}{4}$ ra ngoài tổng.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{14} k$

Bước 3.3.2

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 3.3.3

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{14 (14 + 1)}{2})$

Bước 3.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1.1

Cộng $14$ và $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{14 \cdot 15}{2}$

Bước 3.3.4.1.2

Nhân $14$ với $15$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Bước 3.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5}{4}$ vào tử số.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Bước 3.3.4.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{210}{2}$

Bước 3.3.4.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $210$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Bước 3.3.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Bước 3.3.4.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{105}{2}$

Bước 3.3.4.3

Nhân $\frac{- 5}{2}$ với $\frac{105}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 105}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.4.1

Nhân $- 5$ với $105$ .

$\frac{- 525}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.4.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- 525}{4}$

Bước 3.3.4.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{525}{4}$

Bước 3.4

Cộng các kết quả của tổng.

$\frac{21}{2} - \frac{525}{4}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để viết $\frac{21}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{525}{4}$

Bước 3.5.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nhân $\frac{21}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{525}{4}$

Bước 3.5.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{21 \cdot 2}{4} - \frac{525}{4}$

Bước 3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{21 \cdot 2 - 525}{4}$

Bước 3.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Nhân $21$ với $2$ .

$\frac{42 - 525}{4}$

Bước 3.5.4.2

Trừ $525$ khỏi $42$ .

$\frac{- 483}{4}$

Bước 3.5.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{483}{4}$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$- \frac{5267}{4} + \frac{483}{4}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 5267 + 483}{4}$

Bước 5.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $- 5267$ và $483$ .

$\frac{- 4784}{4}$

Bước 5.2.2

Chia $- 4784$ cho $4$ .

$- 1196$