Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{n = 0}^{20} 3 {(\frac{3}{2})}^{n}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{3}{2})}^{n + 1}}{3 {(\frac{3}{2})}^{n}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{3 {(\frac{3}{2})}^{n + 1}}{3 {(\frac{3}{2})}^{n}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{3}{2})}^{n}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{3}{2})}^{n + 1}$ và ${(\frac{3}{2})}^{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(\frac{3}{2})}^{n}$ ra ngoài ${(\frac{3}{2})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{n} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{n}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{n} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{n} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{n} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{n} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{\frac{3}{2}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia $\frac{3}{2}$ cho $1$ .

$r = \frac{3}{2}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $0$ cho $n$ vào $3 {(\frac{3}{2})}^{n}$ .

$a = 3 {(\frac{3}{2})}^{0}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$a = 3 \frac{3^{0}}{2^{0}}$

Bước 3.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 3 \frac{1}{2^{0}}$

Bước 3.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$a = 3 \cdot 1$

Bước 3.2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$a = 3$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$3 \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{21}}{1 - \frac{3}{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{21}}{1 - \frac{3}{2}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{21}}{1 - \frac{3}{2}})$

Bước 5.1.2

Kết hợp.

$3 \frac{2 (1 - {(\frac{3}{2})}^{21})}{2 (1 - \frac{3}{2})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{21})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{3}{2})}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{2}$ vào tử số.

$3 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{21})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{21})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$3 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{21})}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $2$ với $1$ .

$3 \frac{2 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{21})}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$3 \frac{2 + 2 (- \frac{3^{21}}{2^{21}})}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3^{21}}{2^{21}}$ vào tử số.

$3 \frac{2 + 2 \frac{- 3^{21}}{2^{21}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2^{21}$ .

$3 \frac{2 + 2 \frac{- 3^{21}}{2 \cdot 2^{20}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{2 + 2 \frac{- 3^{21}}{2 \cdot 2^{20}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$3 \frac{2 + \frac{- 3^{21}}{2^{20}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $21$ .

$3 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 10460353203}{2^{20}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $20$ .

$3 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 10460353203}{1048576}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.6

Nhân $- 1$ với $10460353203$ .

$3 \frac{2 + \frac{- 10460353203}{1048576}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 \frac{2 - \frac{10460353203}{1048576}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.8

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1048576}{1048576}$ .

$3 \frac{2 \cdot \frac{1048576}{1048576} - \frac{10460353203}{1048576}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.9

Kết hợp $2$ và $\frac{1048576}{1048576}$ .

$3 \frac{\frac{2 \cdot 1048576}{1048576} - \frac{10460353203}{1048576}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{\frac{2 \cdot 1048576 - 10460353203}{1048576}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.1

Nhân $2$ với $1048576$ .

$3 \frac{\frac{2097152 - 10460353203}{1048576}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.11.2

Trừ $10460353203$ khỏi $2097152$ .

$3 \frac{\frac{- 10458256051}{1048576}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 \frac{- \frac{10458256051}{1048576}}{2 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $2$ với $1$ .

$3 \frac{- \frac{10458256051}{1048576}}{2 - 3}$

Bước 5.5.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$3 \frac{- \frac{10458256051}{1048576}}{- 1}$

Bước 5.6

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$3 \frac{\frac{10458256051}{1048576}}{1}$

Bước 5.7

Chia $\frac{10458256051}{1048576}$ cho $1$ .

$3 (\frac{10458256051}{1048576})$

Bước 5.8

Nhân $3 (\frac{10458256051}{1048576})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Kết hợp $3$ và $\frac{10458256051}{1048576}$ .

$\frac{3 \cdot 10458256051}{1048576}$

Bước 5.8.2

Nhân $3$ với $10458256051$ .

$\frac{31374768153}{1048576}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{31374768153}{1048576}$

Dạng thập phân:

$29921.31057071 \dots$

Dạng hỗn số:

$29921 \frac{325657}{1048576}$