Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{n = 0}^{50} 5 {(\frac{3}{5})}^{n}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ và ${(\frac{3}{5})}^{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(\frac{3}{5})}^{n}$ ra ngoài ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{\frac{3}{5}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia $\frac{3}{5}$ cho $1$ .

$r = \frac{3}{5}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $0$ cho $n$ vào $5 {(\frac{3}{5})}^{n}$ .

$a = 5 {(\frac{3}{5})}^{0}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{5}$ .

$a = 5 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Bước 3.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 5 \frac{1}{5^{0}}$

Bước 3.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$a = 5 \cdot 1$

Bước 3.2.5

Nhân $5$ với $1$ .

$a = 5$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$5 \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$ với $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}})$

Bước 5.1.2

Kết hợp.

$5 \frac{5 (1 - {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 (1 - \frac{3}{5})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3}{5})}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{5}$ vào tử số.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $5$ với $1$ .

$5 \frac{5 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{5}$ .

$5 \frac{5 + 5 (- \frac{3^{51}}{5^{51}})}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3^{51}}{5^{51}}$ vào tử số.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5^{51}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $5$ ra ngoài $5^{51}$ .

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$5 \frac{5 + \frac{- 3^{51}}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $51$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.5

Nhân $- 1$ với $2153693963075560000000000$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 \frac{5 - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.7

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{5 \cdot \frac{5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.8

Kết hợp $5$ và $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.10

Nhân $5$ với $5^{50}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.10.1

Nhân $5$ với $5^{50}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.10.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{1} \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.10.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 \frac{\frac{5^{1 + 50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.4.10.2

Cộng $1$ và $50$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Bước 5.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $5$ với $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 - 3}$

Bước 5.5.2

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{2}$

Bước 5.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$5 (\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 5.7

Nhân $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50} \cdot 2}$

Bước 5.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $5^{50}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$

Bước 5.9

Kết hợp $5$ và $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{2 \cdot 5^{50}}$

Bước 5.10

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Đưa $5$ ra ngoài $2 \cdot 5^{50}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

Bước 5.10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

Bước 5.10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

Dạng thập phân:

$12.49999999 \dots$