Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1}$

Bước 1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + \sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$

Bước 2

Tính $\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(\frac{1}{4}) (11)$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $11$ .

$\frac{11}{4}$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 3.2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 1 - 1}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ và ${(- 3)}^{k - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Đưa ${(- 3)}^{k - 1}$ ra ngoài ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Bước 3.2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 3.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 3.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Bước 3.2.2.1.2.4

Chia ${(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Bước 3.2.2.2

Cộng $k$ và $0$ .

$r = {(- 3)}^{k - (k - 1)}$

Bước 3.2.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(- 3)}^{k - k - - 1}$

Bước 3.2.2.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(- 3)}^{k - k + 1}$

Bước 3.2.2.4

Trừ $k$ khỏi $k$ .

$r = {(- 3)}^{0 + 1}$

Bước 3.2.2.5

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(- 3)}^{1}$

Bước 3.2.2.6

Tính số mũ.

$r = - 3$

Bước 3.3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay $1$ cho $k$ vào ${(- 3)}^{k - 1}$ .

$a = {(- 3)}^{1 - 1}$

Bước 3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = {(- 3)}^{0}$

Bước 3.3.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 1$

Bước 3.4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$1 \frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$ với $1$ .

$\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Bước 3.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $11$ .

$\frac{1 - - 177147}{1 - - 3}$

Bước 3.5.2.2

Nhân $- 1$ với $- 177147$ .

$\frac{1 + 177147}{1 - - 3}$

Bước 3.5.2.3

Cộng $1$ và $177147$ .

$\frac{177148}{1 - - 3}$

Bước 3.5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{177148}{1 + 3}$

Bước 3.5.3.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{177148}{4}$

Bước 3.5.4

Chia $177148$ cho $4$ .

$44287$

Bước 4

Cộng các kết quả của tổng.

$\frac{11}{4} + 44287$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để viết $44287$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + 44287 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 5.2

Kết hợp $44287$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + \frac{44287 \cdot 4}{4}$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{11 + 44287 \cdot 4}{4}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $44287$ với $4$ .

$\frac{11 + 177148}{4}$

Bước 5.4.2

Cộng $11$ và $177148$ .

$\frac{177159}{4}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{177159}{4}$

Dạng thập phân:

$44289.75$

Dạng hỗn số:

$44289 \frac{3}{4}$