Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k}$

Bước 1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k} = \sum_{k = 1}^{10} 1 + \sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$

Bước 2

Tính $\sum_{k = 1}^{10} 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(1) (10)$

Bước 2.3

Nhân $10$ với $1$ .

$10$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 3.2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{{(- 1)}^{k}}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 1)}^{k + 1}$ và ${(- 1)}^{k}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa ${(- 1)}^{k}$ ra ngoài ${(- 1)}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k}}$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Bước 3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Bước 3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{- 1}{1}$

Bước 3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$r = - 1$

Bước 3.3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay $1$ cho $k$ vào ${(- 1)}^{k}$ .

$a = {(- 1)}^{1}$

Bước 3.3.2

Tính số mũ.

$a = - 1$

Bước 3.4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$- \frac{1 - {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{10}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{10}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

Bước 3.5.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 10}}{1 - - 1}$

Bước 3.5.1.1.2

Cộng $1$ và $10$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Bước 3.5.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $11$ .

$- \frac{1 - 1}{1 - - 1}$

Bước 3.5.1.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$- \frac{0}{1 - - 1}$

Bước 3.5.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{0}{1 + 1}$

Bước 3.5.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{0}{2}$

Bước 3.5.3

Chia $0$ cho $2$ .

$- 0$

Bước 3.5.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$

Bước 4

Cộng các kết quả của tổng.

$10 + 0$

Bước 5

Cộng $10$ và $0$ .

$10$