Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(2 k - 3)}^{2}$ ở dạng $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

Bước 1.2

Khai triển $(2 k - 3) (2 k - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Bước 1.3.1.2

Nhân $k$ với $k$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Di chuyển $k$ .

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Bước 1.3.1.2.2

Nhân $k$ với $k$ .

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Bước 1.3.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Bước 1.3.1.4

Nhân $- 3$ với $2$ .

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Bước 1.3.1.5

Nhân $2$ với $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

Bước 1.3.1.6

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

Bước 1.3.2

Trừ $6 k$ khỏi $- 6 k$ .

$4 k^{2} - 12 k + 9$

Bước 1.4

Viết lại tổng.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

Bước 3

Tính $4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Cộng $200$ và $1$ .

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Nhân $200$ với $201$ .

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $2$ với $200$ .

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.3

Cộng $400$ và $1$ .

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

Bước 3.3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $40200$ với $401$ .

$4 (\frac{16120200}{6})$

Bước 3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

Bước 3.3.2.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{16120200}{3})$

Bước 3.3.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{16120200}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

Bước 3.3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.1

Nhân $2$ với $16120200$ .

$\frac{32240400}{3}$

Bước 3.3.2.4.2

Chia $32240400$ cho $3$ .

$10746800$

Bước 4

Tính $12 \sum_{k = 1}^{200} k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Cộng $200$ và $1$ .

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

Bước 4.3.1.2

Nhân $200$ với $201$ .

$- 12 (\frac{40200}{2})$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

Bước 4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 6 \cdot 40200$

Bước 4.3.3

Nhân $- 6$ với $40200$ .

$- 241200$

Bước 5

Tính $\sum_{k = 1}^{200} 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 5.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(9) (200)$

Bước 5.3

Nhân $9$ với $200$ .

$1800$

Bước 6

Cộng các kết quả của tổng.

$10746800 - 241200 + 1800$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Trừ $241200$ khỏi $10746800$ .

$10505600 + 1800$

Bước 7.2

Cộng $10505600$ và $1800$ .

$10507400$