Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{\infty} 3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ và ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ ra ngoài ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Bước 2.2.3

Cộng $k$ và $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $k$ khỏi $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Bước 2.2.6

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$r = \frac{2}{3}$

Bước 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Bước 4

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $1$ cho $k$ vào $3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$a = 3 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Bước 4.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 3 \frac{1}{3^{0}}$

Bước 4.2.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Bước 4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$a = 3 \cdot 1$

Bước 4.2.6

Nhân $3$ với $1$ .

$a = 3$

Bước 5

Thế giá trị của công bội và của số hạng đầu vào công thức tính tổng.

$\frac{3}{1 - \frac{2}{3}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Bước 6.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{\frac{3 - 2}{3}}$

Bước 6.1.3

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{3}{\frac{1}{3}}$

Bước 6.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$3 \cdot 3$

Bước 6.3

Nhân $3$ với $3$ .

$9$