Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{\frac{7}{8^{k + 1}}}{\frac{7}{8^{k}}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$r = \frac{7}{8^{k + 1}} \cdot \frac{8^{k}}{7}$

Bước 2.2.2

Kết hợp.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Bước 2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{8^{k}}{8^{k + 1}}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8^{k}$ và $8^{k + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $8^{k + 1}$ ra ngoài $8^{k}$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1}}$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{8^{k - (k + 1)}}{1}$

Bước 2.2.4.2.4

Chia $8^{k - (k + 1)}$ cho $1$ .

$r = 8^{k - (k + 1)}$

Bước 2.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 8^{k - k - 1 \cdot 1}$

Bước 2.2.5.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$r = 8^{k - k - 1}$

Bước 2.2.6

Trừ $k$ khỏi $k$ .

$r = 8^{0 - 1}$

Bước 2.2.7

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$r = 8^{- 1}$

Bước 2.2.8

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{8}$

Bước 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Bước 4

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $1$ cho $k$ vào $\frac{7}{8^{k}}$ .

$a = \frac{7}{8^{1}}$

Bước 4.2

Tính số mũ.

$a = \frac{7}{8}$

Bước 5

Thế giá trị của công bội và của số hạng đầu vào công thức tính tổng.

$\frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{8}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}$

Bước 6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 1}{8}}$

Bước 6.2.3

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}}$

Bước 6.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{7}{8} (1 (\frac{8}{7}))$

Bước 6.4

Nhân $\frac{8}{7}$ với $1$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Bước 6.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Bước 6.6

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Bước 6.6.2

Viết lại biểu thức.

$1$