Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$

Bước 1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$

Bước 2

Tính $\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 2.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(\frac{1}{3}) (8)$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $8$ .

$\frac{8}{3}$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 3.2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $a_{k}$ và $a_{k + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1}}$

Bước 3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}$ và ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Đưa ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ ra ngoài ${(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1}}$

Bước 3.2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 3.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Bước 3.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Bước 3.2.2.1.2.4

Chia ${(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Bước 3.2.2.2

Cộng $k$ và $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - (k - 1)}$

Bước 3.2.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - k - - 1}$

Bước 3.2.2.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - k + 1}$

Bước 3.2.2.4

Trừ $k$ khỏi $k$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Bước 3.2.2.5

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Bước 3.2.2.6

Rút gọn.

$r = \frac{1}{3}$

Bước 3.3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay $1$ cho $k$ vào ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Bước 3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{0}$

Bước 3.3.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Bước 3.3.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Bước 3.3.2.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Bước 3.3.2.5

Chia $1$ cho $1$ .

$a = 1$

Bước 3.4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ với $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Bước 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Bước 3.5.2.2

Kết hợp.

$\frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Bước 3.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Bước 3.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3}$ vào tử số.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Bước 3.5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Bước 3.5.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ vào tử số.

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3^{8}$ .

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.8

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.9

Kết hợp $3$ và $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.11.1

Nhân $3$ với $2187$ .

$\frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.5.11.2

Trừ $1$ khỏi $6561$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 3.5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Bước 3.5.6.2

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Bước 3.5.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 3.5.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $6560$ .

$\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 3.5.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 3.5.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3280}{2187}$

Bước 4

Cộng các kết quả của tổng.

$\frac{8}{3} + \frac{3280}{2187}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để viết $\frac{8}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{729}{729}$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{729}{729} + \frac{3280}{2187}$

Bước 5.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $2187$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{8}{3}$ với $\frac{729}{729}$ .

$\frac{8 \cdot 729}{3 \cdot 729} + \frac{3280}{2187}$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $729$ .

$\frac{8 \cdot 729}{2187} + \frac{3280}{2187}$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 \cdot 729 + 3280}{2187}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $8$ với $729$ .

$\frac{5832 + 3280}{2187}$

Bước 5.4.2

Cộng $5832$ và $3280$ .

$\frac{9112}{2187}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{9112}{2187}$

Dạng thập phân:

$4.16643804 \dots$

Dạng hỗn số:

$4 \frac{364}{2187}$