Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{8} \frac{1}{3^{n}}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{3^{n + 1}}}{\frac{1}{3^{n}}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$r = \frac{1}{3^{n + 1}} \cdot 3^{n}$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3^{n + 1}}$ và $3^{n}$ .

$r = \frac{3^{n}}{3^{n + 1}}$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3^{n}$ và $3^{n + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $3^{n + 1}$ ra ngoài $3^{n}$ .

$r = \frac{3^{n + 1} \cdot 3^{n - (n + 1)}}{3^{n + 1}}$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{3^{n + 1} \cdot 3^{n - (n + 1)}}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{3^{n + 1} \cdot 3^{n - (n + 1)}}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{3^{n - (n + 1)}}{1}$

Bước 2.2.3.2.4

Chia $3^{n - (n + 1)}$ cho $1$ .

$r = 3^{n - (n + 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$r = 3^{n - n - 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $n$ khỏi $n$ .

$r = 3^{0 - 1}$

Bước 2.2.6

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$r = 3^{- 1}$

Bước 2.2.7

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $n$ vào $\frac{1}{3^{n}}$ .

$a = \frac{1}{3^{1}}$

Bước 3.2

Tính số mũ.

$a = \frac{1}{3}$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

Bước 5.1.2

Kết hợp.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3}$ vào tử số.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ vào tử số.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3^{8}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.8

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.9

Kết hợp $3$ và $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.1

Nhân $3$ với $2187$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.4.11.2

Trừ $1$ khỏi $6561$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Bước 5.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Bước 5.5.2

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Bước 5.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{3} (\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 5.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $6560$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 5.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$

Bước 5.8

Nhân $\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{3280}{2187}$ .

$\frac{3280}{3 \cdot 2187}$

Bước 5.8.2

Nhân $3$ với $2187$ .

$\frac{3280}{6561}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3280}{6561}$

Dạng thập phân:

$0.49992379 \dots$