Giải tích sơ cấp Ví dụ

$lim_{x \to 8} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$ ở dạng $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Bước 2.3

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x + 1}{x - 1})}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Bước 2.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Bước 2.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Bước 2.7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Bước 2.8

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Bước 3.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8 - 1 \cdot 1})}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn $8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8 - 1 \cdot 1})$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$e^{\ln ({(\frac{8 + 1}{8 - 1 \cdot 1})}^{8})}$

Bước 4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(\frac{8 + 1}{8 - 1 \cdot 1})}^{8}$

Bước 4.3

Cộng $8$ và $1$ .

${(\frac{9}{8 - 1 \cdot 1})}^{8}$

Bước 4.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

${(\frac{9}{8 - 1})}^{8}$

Bước 4.4.2

Trừ $1$ khỏi $8$ .

${(\frac{9}{7})}^{8}$

Bước 4.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{9}{7}$ .

$\frac{9^{8}}{7^{8}}$

Bước 4.6

Nâng $9$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{43046721}{7^{8}}$

Bước 4.7

Nâng $7$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{43046721}{5764801}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{43046721}{5764801}$

Dạng thập phân:

$7.46716512 \dots$