Giải tích sơ cấp Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\csc (6 x)}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\csc (6 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

Bước 1.2

Viết lại $\cot (2 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

Bước 1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

Bước 1.4

Viết $\sin (6 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{1}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Chia $\sin (6 x)$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

Bước 1.5.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ sang $\cot (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Bước 2

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Bước 3

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\cot (2 x) \sin (6 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ - 0.1 & 2.78546877 \\ - 0.01 & 2.99780055 \\ - 0.001 & 2.999978 \\ - 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

Bước 4

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $3$ . Cho nên, giới hạn của $\cot (2 x) \sin (6 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $3$ .

$3$

Bước 5

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Bước 6

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\cot (2 x) \sin (6 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ 0.1 & 2.78546877 \\ 0.01 & 2.99780055 \\ 0.001 & 2.999978 \\ 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

Bước 7

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $3$ . Cho nên, giới hạn của $\cot (2 x) \sin (6 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $3$ .

$3$