Giải tích sơ cấp Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x \sin (2 x)}$

Bước 1

Chuyển số hạng $\frac{1}{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \sin (2 x)}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Bước 4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Bước 6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Bước 8

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Bước 9

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Bước 11.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Bước 11.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Bước 11.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Bước 11.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Bước 11.1.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{π}{4}$ và $\sin (2 \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{4})}{4}}$

Bước 11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{4}}$

Bước 11.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{4}}$

Bước 11.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}$

Bước 11.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \cdot 1}{4}}$

Bước 11.4

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4}}$

Bước 11.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{3} (1 \frac{4}{π})$

Bước 11.6

Nhân $\frac{4}{π}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{π}$

Bước 11.7

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{3 π}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{4}{3 π}$

Dạng thập phân:

$0.42441318 \dots$