Giải tích sơ cấp Ví dụ

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{x^{4} - 2 x + 1}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Bước 2

Đưa số mũ $2$ từ ${(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Bước 4

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Bước 5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Bước 6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 8

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 9

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Bước 10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Bước 11.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{{(- 1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Bước 12.1.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{{(- 1 + 2 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Bước 12.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{{(- 1 + 2 - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Bước 12.1.4

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Bước 12.1.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Bước 12.1.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{0}{1 - 2 \cdot - 1 + 1}$

Bước 12.2.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{0}{1 + 2 + 1}$

Bước 12.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{0}{3 + 1}$

Bước 12.2.4

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{0}{4}$

Bước 12.3

Chia $0$ cho $4$ .

$0$