Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{50} 2^{2 i}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{2^{2 (i + 1)}}{2^{2 i}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2^{2 (i + 1)}$ và $2^{2 i}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $2^{2 i}$ ra ngoài $2^{2 (i + 1)}$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i}}$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Bước 2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Bước 2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{2^{2 (i + 1) - 2 i}}{1}$

Bước 2.2.1.2.4

Chia $2^{2 (i + 1) - 2 i}$ cho $1$ .

$r = 2^{2 (i + 1) - 2 i}$

Bước 2.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 2^{2 i + 2 \cdot 1 - 2 i}$

Bước 2.2.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$r = 2^{2 i + 2 - 2 i}$

Bước 2.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 i + 2 - 2 i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Trừ $2 i$ khỏi $2 i$ .

$r = 2^{0 + 2}$

Bước 2.2.3.2

Cộng $0$ và $2$ .

$r = 2^{2}$

Bước 2.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$r = 4$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $i$ vào $2^{2 i}$ .

$a = 2^{2 \cdot 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$a = 2^{2}$

Bước 3.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$a = 4$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 1 \cdot 4}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 4}$

Bước 5.1.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{- 3}$

Bước 5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$

Bước 5.3

Nhân $4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \frac{1 - 4^{50}}{3}$

Bước 5.3.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1 - 4^{50}}{3}$ .

$\frac{- 4 (1 - 4^{50})}{3}$

Bước 5.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Dạng thập phân:

$1.6902008 \cdot 10^{30}$