Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 1.2

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{3}$ cho $x$ .

$\frac{3 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 3.1.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $9 x^{2}$ ở dạng ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

Bước 3.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

Bước 3.2.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 3 x$ và $b = 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Bước 3.3

Chia $0$ cho $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$0$