Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\tan (\frac{23 π}{12})$

Bước 1

Đầu tiên, chia một góc thành hai góc nơi các giác trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết. Trong trường hợp này, $\frac{23 π}{12}$ có thể được chia thành $\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4})$

Bước 2

Sử dụng công thức tính tổng cho tang để rút gọn biểu thức. Công thức nói rằng $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{5 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì tang âm trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 3.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 3.3

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 4.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 4.3

Nhân $- - \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 4.3.2

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Bước 4.4

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Bước 4.5

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

Bước 5

Nhân $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ với $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Bước 6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ với $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Bước 6.2

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 7.2

Nâng $1 - \sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 7.3

Nâng $1 - \sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Bước 7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Bước 7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Bước 8

Viết lại ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ ở dạng $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 9

Khai triển $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 10

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 10.1.2

Nhân $- \sqrt{3}$ với $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 10.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 10.1.4

Nhân $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Bước 10.1.4.2

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Bước 10.1.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

Bước 10.1.4.4

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

Bước 10.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

Bước 10.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

Bước 10.1.5

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

Bước 10.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

Bước 10.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Bước 10.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Bước 10.1.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

Bước 10.1.5.5

Tính số mũ.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Bước 10.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

Bước 10.3

Trừ $\sqrt{3}$ khỏi $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Bước 11

Triệt tiêu thừa số chung của $4 - 2 \sqrt{3}$ và $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Bước 11.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 11.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

Bước 11.4

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

Bước 12

Viết lại $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ ở dạng $- (2 - \sqrt{3})$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Bước 13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Bước 14

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Bước 15

Nhân $- - \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Bước 15.2

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- 2 + \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$- 0.26794919 \dots$