Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (x))$

Bước 1

Sử dụng công thức tính tổng cho sin để rút gọn biểu thức. Công thức nói rằng $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Bước 2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hàm sin và arcsin là nghịch đảo.

$x \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Bước 3.2

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$x \cdot x + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Bước 3.3

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Bước 3.4

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arcsin (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Do đó, $\cos (\arcsin (x))$ là $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Bước 3.5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Bước 3.6

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

Bước 3.7

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arccos (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Do đó, $\sin (\arccos (x))$ là $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

Bước 3.8

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Bước 3.9

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Bước 3.10

Nhân $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nâng $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Bước 3.10.2

Nâng $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}$

Bước 3.10.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

Bước 3.10.4

Cộng $1$ và $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Bước 3.11

Viết lại ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ ở dạng $(1 + x) (1 - x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ở dạng ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 3.11.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 3.11.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Bước 3.11.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Bước 3.11.4.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Bước 3.11.5

Rút gọn.

$x^{2} + (1 + x) (1 - x)$

Bước 3.12

Khai triển $(1 + x) (1 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Bước 3.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Bước 3.12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Bước 3.13

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$x^{2} + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Bước 3.13.1.2

Nhân $- x$ với $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Bước 3.13.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x + x (- x)$

Bước 3.13.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} + 1 - x + x - x \cdot x$

Bước 3.13.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - (x \cdot x)$

Bước 3.13.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - x^{2}$

Bước 3.13.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$x^{2} + 1 + 0 - x^{2}$

Bước 3.13.3

Cộng $1$ và $0$ .

$x^{2} + 1 - x^{2}$

Bước 4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} + 1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$0 + 1$

Bước 4.2

Cộng $0$ và $1$ .

$1$