Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)} = \sin (2 x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Bước 2.1.2

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Bước 2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \tan (x)$ và $b = \cot (x)$ .

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) - \cot (x))}$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)) (\tan (x) - \cot (x))}$

Bước 2.2.2.2

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\tan (x) - \cot (x))}$

Bước 2.2.2.3

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x))}$

Bước 2.2.2.4

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Bước 2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Bước 2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để viết $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 3.1.2

Để viết $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Bước 3.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\cos (x) \sin (x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ với $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Bước 3.1.3.2

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Bước 3.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Bước 3.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Bước 3.1.5.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Bước 3.1.5.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Bước 3.1.5.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Bước 3.1.5.2

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Bước 3.1.5.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Bước 3.1.5.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Bước 3.1.5.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Bước 3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Bước 3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{1}$

Bước 4.2

Chia $2 \cos (x) \sin (x)$ cho $1$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 4.3

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Bước 4.4

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Bước 4.5

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 x)$

Bước 5

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)} = \sin (2 x)$ là một đẳng thức