Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} = 2 \sec (x) \cot^{2} (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Bước 2

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Bước 2.2

Để viết $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Bước 2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ với $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ với $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sec (x) + 1 + \sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cộng $\sec (x)$ và $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) + 1 - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Bước 3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Bước 3.3

Cộng $2 \sec (x)$ và $0$ .

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1)}$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1)}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1}$

Bước 4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{2 \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Bước 6

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\tan^{2} (x)}$

Bước 6.2

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.3

Kết hợp.

$\frac{2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Bước 7.4

Triệt tiêu thừa số chung của ${\cos (x)}^{2}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8

Viết lại $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng $2 \sec (x) \cot^{2} (x)$ .

$2 \sec (x) \cot^{2} (x)$

Bước 9

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} = 2 \sec (x) \cot^{2} (x)$ là một đẳng thức