Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Bước 2

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Bước 2.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Bước 2.3

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.2

Cộng $- \cos (x)$ và $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) + 0}{\sin (x)}$

Bước 3.3

Cộng $\sin (x)$ và $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4.2

Nhân $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $\frac{1}{\sin (x)}$ với $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4.2.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Bước 3.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + 1$

Bước 3.5

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 0$

Bước 3.6

Cộng $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ và $0$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 4

Viết lại $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Bước 5

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$ là một đẳng thức