Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Bước 1

Bắt đầu ở phía bên phải.

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cos (2 u)$ và $b = \sin (2 u)$ .

$(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Bước 2.2

Khai triển $(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Bước 2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Bước 2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Bước 2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\cos (2 u) (- \sin (2 u))$ và $\sin (2 u) \cos (2 u)$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) - \cos (2 u) \sin (2 u) + \cos (2 u) \sin (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Bước 2.3.2

Cộng $- \cos (2 u) \sin (2 u)$ và $\cos (2 u) \sin (2 u)$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) + 0 + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Bước 2.3.3

Cộng $\cos (2 u) \cos (2 u)$ và $0$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Bước 2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $\cos (2 u) \cos (2 u)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Nâng $\cos (2 u)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Bước 2.4.1.2

Nâng $\cos (2 u)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{1} (2 u) \cos^{1} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Bước 2.4.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\cos (2 u)}^{1 + 1} + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Bước 2.4.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Bước 2.4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos^{2} (2 u) - \sin (2 u) \sin (2 u)$

Bước 2.4.3

Nhân $- \sin (2 u) \sin (2 u)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nâng $\sin (2 u)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin (2 u))$

Bước 2.4.3.2

Nâng $\sin (2 u)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin^{1} (2 u))$

Bước 2.4.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (2 u) - {\sin (2 u)}^{1 + 1}$

Bước 2.4.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Bước 2.5

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$\cos (2 (2 u))$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\cos (4 u)$

Bước 3

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$ là một đẳng thức