Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a) = \csc (a)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a)$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\cot (a)$ theo sin và cosin.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$

Bước 2.2

Để viết $\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$

Bước 2.3

Để viết $- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Bước 2.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 - \cos (a)) \sin (a)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ với $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 - \cos (a)) \sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Bước 2.4.2

Nhân $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ với $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 - \cos (a)) \sin (a)} - \frac{\cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 - \cos (a)) \sin (a)$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))} - \frac{\cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sin (a) \sin (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $\sin (a) \sin (a)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Nâng $\sin (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.1.2

Nâng $\sin (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) (- \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) - \cos (a) (- \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.4

Nhân $- \cos (a) (- \cos (a))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + 1 \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.4.2

Nhân $\cos (a)$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.4.3

Nâng $\cos (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.4.4

Nâng $\cos (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + {\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.5

Viết lại $\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- \cos (a) + \sin^{2} (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.6.5.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- \cos (a) + 1}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- \cos (a) + 1$ và $1 - \cos (a)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1 - \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Bước 2.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sin (a)}$

Bước 3

Viết lại $\frac{1}{\sin (a)}$ ở dạng $\csc (a)$ .

$\csc (a)$

Bước 4

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a) = \csc (a)$ là một đẳng thức